ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.170 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

. Укажите движение, при котором образом четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке 22.9, является четырёхугольник MKNP.

Перенос на вектор \(\overrightarrow{CM}\).

Пояснение: точки сопоставляются параллельным переносом так, что \(C \mapsto M\), \(D \mapsto K\), \(A \mapsto N\), \(B \mapsto P\); все соответствующие стороны параллельны и равны, значит искомое движение — параллельный перенос на вектор \(\overrightarrow{CM}\).

1) Параллельный перенос на вектор \(\overrightarrow{CM}\). Это движение жёсткое: оно сохраняет расстояния и углы, а все точки фигуры смещает на один и тот же вектор. В нашем случае за образ берётся четырёхугольник \(MKNP\), который получается из \(ABCD\) при переносе каждой точки на один и тот же вектор, направленный от \(C\) к \(M\). То есть для любой точки \(X\) из \(ABCD\) её образ \(X’\) удовлетворяет равенствам \(XX’=CM\) по длине и \(\overrightarrow{XX’}\parallel \overrightarrow{CM}\), причём направления совпадают.

2) Соответствие вершин подтверждает выбор вектора: \(C \mapsto M\), \(D \mapsto K\), \(A \mapsto N\), \(B \mapsto P\). При параллельном переносе выполняется равенство векторов \(\overrightarrow{CX}=\overrightarrow{M X’}\) для соответствующих сторон, что эквивалентно \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{NP}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PM}\), \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{MK}\), \(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{KN}\). Отсюда следует равенство длин соответствующих сторон: \(AB=NP\), \(BC=PM\), \(CD=MK\), \(DA=KN\), и параллельность: \(AB\parallel NP\), \(BC\parallel PM\), \(CD\parallel MK\), \(DA\parallel KN\).

3) Вектор переноса однозначно восстанавливается по одной паре соответствующих точек: если \(C \mapsto M\), то \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{XX’}\) для любой другой пары \(X \mapsto X’\). Проверка по двум разным вершинам согласована: \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{CM}\), \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CM}\), \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CM}\). Так как все эти векторы равны и сонаправлены, движение не может быть ни поворотом, ни осевой симметрией, ни гомотетией: при повороте лучи от центра меняют направление, при симметрии меняется ориентация, при гомотетии масштабирутся длины. Здесь же сохраняются и длины, и ориентация, а направления сторон остаются параллельными исходным, что полностью характеризует параллельный перенос на вектор \(\overrightarrow{CM}\).