ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.173 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Какие координаты имеет образ точки A \((-4; 6)\) при симметрии относительно начала координат?

При симметрии относительно начала координат каждая точка \((x; y)\) переходит в точку \((-x; -y)\).

Применим к \(A(-4; 6)\): получаем \((4; -6)\).

Симметрия относительно начала координат означает «поворот» точки на \(180^{\circ}\) вокруг начала или, что эквивалентно, одновременное изменение знаков обеих координат. Общая формула преобразования: точка \((x; y)\) переходит в точку \((-x; -y)\). Это связано с тем, что начало координат является центром симметрии: вектор от начала к исходной точке \((x; y)\) меняет направление на противоположное, что записывается как умножение обеих координат на \(-1\).

Для точки \(A(-4; 6)\) применяем правило смены знаков каждой координаты. Первая координата \(x=-4\) становится \(+4\), вторая координата \(y=6\) становится \(-6\). То есть выполняем преобразование \((-4; 6)\rightarrow(4; -6)\). Геометрически это означает, что точка \(A\) и её образ \(A’\) лежат на одной прямой через начало и равноудалены от него, причём в противоположных направлениях.

Проверка корректности проста: расстояние от начала до точки \(A\) равно \(\sqrt{(-4)^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\), а до образа \(A’\) равно \(\sqrt{4^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\). Расстояния совпадают, что подтверждает центральную симметрию. Следовательно, образ точки \(A(-4; 6)\) при симметрии относительно начала координат имеет координаты \((4; -6)\).