ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.174 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Какие координаты имеет точка, симметричная точке A \((2; -4)\) относительно точки M \((3; -1)\)?

Точка \(A(2;-4)\), точка середины отрезка между \(A\) и искомой \(A’\) — это \(M(3;-1)\). Используем формулы середины:
\(\frac{x_A+x_{A’}}{2}=x_M\Rightarrow \frac{2+x_{A’}}{2}=3\Rightarrow x_{A’}=4\).
\(\frac{y_A+y_{A’}}{2}=y_M\Rightarrow \frac{-4+y_{A’}}{2}=-1\Rightarrow y_{A’}=2\).

Ответ: \(A'(4;2)\).

Симметрия точки относительно другой точки означает, что вторая точка является серединой отрезка, соединяющего исходную точку и её отражение. Пусть дана исходная точка \(A(2;-4)\), точка симметрии \(M(3;-1)\) и искомая точка \(A'(x’;y’)\). Тогда по определению середины выполняются равенства: \(M\) — середина отрезка \(AA’\), то есть координаты \(M\) выражаются как полусуммы соответствующих координат \(A\) и \(A’\). Формулы середины для декартовых координат имеют вид: \(\frac{x_A+x’}{2}=x_M\) и \(\frac{y_A+y’}{2}=y_M\). Эти формулы следуют из того, что при равном удалении от концов отрезка каждая координата середины есть среднее арифметическое соответствующих координат концов.

Подставим численные значения. Для оси \(x\): \(\frac{2+x’}{2}=3\). Умножим обе части на \(2\), чтобы избавиться от знаменателя: \(2+x’=6\). Выразим \(x’\): \(x’=6-2=4\). Для оси \(y\): \(\frac{-4+y’}{2}=-1\). Аналогично умножим на \(2\): \(-4+y’=-2\). Выразим \(y’\): \(y’=-2+4=2\). Таким образом, найденные координаты искомой точки-отражения: \(x’=4\) и \(y’=2\).

Проверим соответствие определению симметрии через векторы и расстояния. Вектор \(\overrightarrow{AM}\) имеет координаты \((3-2;\,-1-(-4))=(1;3)\). Вектор \(\overrightarrow{MA’}\) должен совпадать с \(\overrightarrow{AM}\), так как \(M\) — середина: \((4-3;\,2-(-1))=(1;3)\), что выполняется. Кроме того, полусуммы координат \(2\) и \(4\) дают \(3\), а \(-4\) и \(2\) дают \(-1\): \(\frac{2+4}{2}=3\), \(\frac{-4+2}{2}=-1\). Следовательно, точка \(A’\) корректно отражена относительно \(M\).

Ответ: \(A'(4;2)\).