ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.175 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Какие координаты имеет образ точки A \((-2; 5)\) при симметрии относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат?

При симметрии относительно оси абсцисс меняется знак ординаты: из точки \(A(-2;5)\) получаем \(A'(-2;-5)\).

При симметрии относительно оси ординат меняется знак абсциссы: из точки \(A(-2;5)\) получаем \(A'(2;5)\).

1) Симметрия относительно оси абсцисс означает отражение точки по горизонтальной оси \(Ox\). При таком отражении абсцисса \(x\) остаётся неизменной, а ордината \(y\) меняет знак. То есть правило преобразования для любой точки \((x;y)\) имеет вид \((x;y)\to(x;-y)\). Применим его к исходной точке \(A(-2;5)\): абсцисса \(-2\) остаётся той же, а ордината \(5\) становится \(-5\). Поэтому образ точки равен \(A'(-2;-5)\). Геометрически это соответствует тому, что точка поднимается или опускается на такое же расстояние от оси \(Ox\), но в противоположную сторону, сохраняя горизонтальную проекцию.

2) Симметрия относительно оси ординат означает отражение точки по вертикальной оси \(Oy\). В этом случае ордината \(y\) остаётся неизменной, а абсцисса \(x\) меняет знак. Правило преобразования для любой точки \((x;y)\) записывается как \((x;y)\to(-x;y)\). Для точки \(A(-2;5)\) меняем знак абсциссы: \(-2\to 2\), ордината \(5\) остаётся прежней. Следовательно, образ точки равен \(A'(2;5)\). Геометрически это означает, что точка зеркально переносится через ось \(Oy\), оставаясь на той же высоте, но переходя в противоположную полуплоскость по горизонтали.

Дополнительно отметим общую закономерность симметрий относительно координатных осей, которая помогает быстро находить образы точек без построения: при отражении относительно \(Ox\) выполняется преобразование \((x;y)\to(x;-y)\), а при отражении относительно \(Oy\) выполняется \((x;y)\to(-x;y)\). Эти правила применимы для любых значений \(x\) и \(y\), в том числе для отрицательных и положительных чисел, что демонстрирует пример с точкой \(A(-2;5)\), дающей образы \(A'(-2;-5)\) и \(A'(2;5)\) соответственно.