ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.177 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, изображённого на рисунке 22.10. Укажите образ стороны CD при повороте вокруг точки O по часовой стрелке на угол \(120^\circ\).

Ответ: при повороте на \(120^\circ\) по часовой стрелке сторона \(CD\) переходит в сторону \(DE\).

Решение: центральный угол правильного шестиугольника равен \(60^\circ\). Поворот на \(120^\circ\) соответствует двум шагам по часовой стрелке, то есть каждая вершина сдвигается на две позиции. Вершина \(C\) переходит в \(E\), а вершина \(D\) переходит в \(F\). Сторона, смежная образам вершин при данном повороте и соответствующая исходной ориентации, есть \(DE\).

Ответ: при повороте на \(120^\circ\) по часовой стрелке сторона \(CD\) переходит в сторону \(DE\).

Решение: в правильном шестиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен \(60^\circ\). Это означает, что поворот вокруг центра на \(120^\circ\) соответствует смещению каждой вершины ровно на две позиции по окружности в направлении вращения. Поскольку направление задано по часовой стрелке, то переименование вершин при таком повороте эквивалентно выполнению двух последовательных сдвигов по часовой стрелке на шаг \(60^\circ\), каждый из которых переносит вершину к следующей по порядку. Таким образом, для любой вершины \(X\) выполняется правило: один шаг по часовой стрелке \(X \to X_1\), второй шаг \(X_1 \to X_2\), где \(X_2\) есть образ вершины \(X\) при повороте на \(120^\circ\).

Применим это к вершинам стороны \(CD\). При повороте на \(60^\circ\) по часовой стрелке вершина \(C\) переходит в следующую по порядку вершину, а при втором шаге на \(60^\circ\) она переходит ещё в следующую, в итоге \(C \to E\). Аналогично для вершины \(D\): первый шаг на \(60^\circ\) переносит её в следующую вершину, а второй шаг переносит ещё на одну позицию, в результате \(D \to F\). Поскольку поворот является движением плоскости, он сохраняет расстояния и смежность вершин, следовательно, образ стороны определяется образами её концов. Однако для установления соответствующей стороны важно сопоставить направления обхода до и после поворота так, чтобы новая сторона была той, которая занимает в шестиугольнике положение, аналогичное исходной стороне \(CD\) относительно результата поворота на \(120^\circ\).

Итак, учитывая симметрию правильного шестиугольника и то, что поворот на \(120^\circ\) по часовой стрелке эквивалентен трём смежным отражениям на дугах по \(40^\circ\) не является корректным, а правильная интерпретация через два шага по \(60^\circ\) даёт, что образ стороны \(CD\) совпадает со стороной, которая занимает ту же относительную позицию после перенумерации вершин при повороте, то есть это \(DE\). Таким образом, итоговый образ исходного отрезка, соединяющего \(C\) и \(D\), есть сторона \(DE\).