ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.178 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка O — центр правильного восьмиугольника, изображённого на рисунке 22.11. Укажите образ стороны \(A_3A_4\) при повороте вокруг точки O против часовой стрелки на угол \(135^\circ\).

Сторона \(A_3A_4\) при повороте вокруг центра правильного восьмиугольника на угол \(135^\circ\) (то есть на \(3\) шага по \(45^\circ\)) переходит в сторону с теми же относительными индексами, сдвинутыми на \(3\): \(A_{3+3}A_{4+3}=A_6A_7\).

Ответ: \(A_6A_7\).

Рассматриваем правильный восьмиугольник с центром \(O\). У правильного \(n\)-угольника центральные углы между соседними вершинами равны \( \frac{360^\circ}{n} \). Для восьмиугольника получаем шаг поворота между соседними вершинами \( \frac{360^\circ}{8}=45^\circ \). Поворот на угол \(135^\circ\) против часовой стрелки соответствует перемещению на целое число таких шагов: \( \frac{135^\circ}{45^\circ}=3 \). Это означает, что каждая вершина и, соответственно, каждая сторона «сдвигается» на три позиции по возрастанию индексов.

Индексация на рисунке идёт против часовой стрелки: после \(A_1\) следует \(A_2\), затем \(A_3\), \(A_4\) и так далее до \(A_8\), после чего цикл замыкается. Сторона \(A_3A_4\) соединяет соседние вершины с индексами, отличающимися на единицу. При повороте вокруг центра на \(135^\circ\) образ каждой вершины находится добавлением к её индексу числа \(3\) по модулю \(8\): вершина \(A_k\) переходит в \(A_{k+3}\) (если индекс превышает \(8\), продолжаем счёт с \(A_1\)). Тогда образ стороны определяется образом её концов: \(A_3 \to A_{3+3}=A_6\) и \(A_4 \to A_{4+3}=A_7\).

Так как поворот сохраняет расстояния и смежность вершин, то сторона, соединяющая образы концов, и будет искомым образом начальной стороны. Следовательно, образ стороны \(A_3A_4\) есть сторона \(A_6A_7\). Итог: при повороте против часовой стрелки на \(135^\circ\) относительно центра \(O\) выполняется \(A_3A_4 \to A_6A_7\). Ответ: \(A_6A_7\).