ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.179 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка O — центр правильного двенадцатиугольника, изображённого на рисунке 22.12. Укажите образ стороны \(A_2A_3\) при повороте вокруг точки O по часовой стрелке на угол \(150^\circ\).

Стороны правильного 12‑угольника при повороте вокруг центра переходят в стороны, сдвинутые на столько вершин, сколько соответствует углу поворота. Один центральный угол равен \(360^\circ/12=30^\circ\). Поворот на \(150^\circ\) по часовой стрелке соответствует сдвигу на \(150^\circ/30^\circ=5\) вершин.

Сторона \(A_2A_3\) при таком повороте перейдёт в сторону, полученную сдвигом обоих концов на 5 позиций по часовой стрелке: \(A_7A_8\).

В правильном двенадцатиугольнике все центральные углы между соседними вершинами равны, потому что фигура обладает осевой и вращательной симметрией. Центральный угол, соответствующий дуге между соседними вершинами, находится делением полного угла на число сторон: \(360^\circ:12=30^\circ\). Это означает, что переход от вершины \(A_k\) к следующей по часовой стрелке вершине увеличивает индекс на 1 и сопровождается поворотом радиуса на \(30^\circ\). Следовательно, поворот на угол, кратный \(30^\circ\), эквивалентен сдвигу по нумерации вершин на соответствующее количество шагов.

Нам задан поворот на \(150^\circ\) по часовой стрелке вокруг центра \(O\). Выразим этот угол через число шагов по вершинам: \(150^\circ:30^\circ=5\). Это означает, что каждый конец рассматриваемого отрезка сдвигается ровно на 5 вершин по часовой стрелке. Векторное или матричное описание поворота не требуется, так как в правильном многоугольнике стороны взаимно соответствуют при вращении на кратные доли полного угла. При движении по часовой стрелке индексы вершин возрастают, как видно на рисунке: после \(A_2\) идет \(A_3\), далее \(A_4\) и т.д.

Применим найденный сдвиг к концам стороны \(A_2A_3\). Вершина \(A_2\) при повороте на \(150^\circ\) перейдет в вершину \(A_{2+5}=A_7\), а вершина \(A_3\) перейдет в вершину \(A_{3+5}=A_8\). Поскольку поворот сохраняет расстояния и ориентацию отрезка относительно радиусов, образ стороны \(A_2A_3\) есть сторона, соединяющая полученные вершины. Следовательно, искомый образ стороны при данном повороте — это сторона \(A_7A_8\).