ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь треугольника \(ABC\) равна 18 см\(^2\). На стороне \(AB\) отметили точки \(K\) и \(D\) так, что \(AK=KD=DB\), а на стороне \(AC\) — точки \(F\) и \(E\) так, что \(AF=FE=EC\). Найдите площадь четырёхугольника \(DEFK\).

Поскольку точки \(K\) и \(D\) делят сторону \(AB\) на три равные части, а точки \(F\) и \(E\) — сторону \(AC\) на три равные части, то отрезки \(KD\) и \(FE\) параллельны основанию треугольника и образуют три подобные треугольника равной высоты по полосам.

Следовательно, площадь четырёхугольника \(DEFK\) равна площади средней полосы, то есть одной из трёх равных частей площади треугольника \(ABC\): \(\frac{18}{3}=6\).

Ответ: \(6\text{ см}^2\).

1) Точки \(K\) и \(D\) делят сторону \(AB\) на три равные части: \(AK=KD=DB\). Аналогично точки \(F\) и \(E\) делят сторону \(AC\) на три равные части: \(AF=FE=EC\). Поскольку отрезки отмечены на соответствующих сторонах, то отрезки, соединяющие соответствующие точки, являются частями линий, параллельных третьей стороне треугольника \(BC\). В треугольнике при делении обеих боковых сторон на три равные части через соответствующие уровни проходят параллельные \(BC\) прямые, которые разбивают исходный треугольник на три «полосы» одинаковой высоты: нижнюю, среднюю и верхнюю. Эти полосы ограничены парами параллельных линий, а их высоты равны, так как расстояния между соседними параллелями одинаковы.

2) В подобных линейных разбиениях площадь каждой «полосы» равна сумме площадей трапеций и треугольников, образованных между соседними параллельными линиями. Однако ключевой факт: при равном делении высоты треугольника на три части получаем три области равной высоты, и каждая такая область имеет одинаковую среднюю ширину по отношению к основанию, поэтому их площади одинаковы. Иначе можно рассуждать через подобие: треугольники, отсечённые верхней и нижней параллелью, подобны исходному треугольнику и их площади составляют одинаковые доли от общей площади, а оставшаяся центральная область равна разности площадей двух подобных треугольников и, благодаря симметрии деления на три, равна одной третьей от общей площади.

3) Четырёхугольник \(DEFK\) является именно средней полосой между двумя параллельными отрезками, проведёнными на уровне одной трети и двух третей высоты треугольника. Следовательно, его площадь равна одной из трёх равных частей площади треугольника \(ABC\): \(\frac{S_{ABC}}{3}=\frac{18}{3}=6\). Итак, искомая площадь: \(S_{DEFK}=6\text{ см}^{2}\).