ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.180 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Квадрат CDEF, изображённый на рисунке 22.13, является образом квадрата ABCD при повороте по часовой стрелке на угол \(90^\circ\). Какая точка является центром поворота?

Ответ: точка D.

Так как квадрат \(CDEF\) получен поворотом квадрата \(ABCD\) на \(90^\circ\) по часовой стрелке, то центром поворота является точка, которая остаётся на месте при таком преобразовании. На рисунке общая вершина двух квадратов совпадает: \(D\) принадлежит и квадрату \(ABCD\), и квадрату \(CDEF\). Следовательно, именно \(D\) является неподвижной точкой, то есть центром поворота.

Ответ: точка D.

Рассмотрим свойства поворота на угол \(90^\circ\) по часовой стрелке. Поворот вокруг некоторой точки \(O\) переводит каждую точку фигуры в новую позицию так, что расстояние до центра сохраняется, а луч \(O\!\to\!X\) поворачивается на заданный угол. Следовательно, центр поворота — это единственная точка, которая остаётся неподвижной: если точка \(X\) совпадает со своим образом \(X’\), то \(OX=OX’\) и угол поворота для луча \(O\!\to\!X\) равен нулю, что возможно только при \(X=O\). На рисунке видно, что квадраты \(ABCD\) и \(CDEF\) имеют общую вершину \(D\). Эта вершина до и после преобразования совпадает сама с собой, то есть \(D\) переходит в \(D\). Следовательно, \(D\) является неподвижной точкой преобразования, а значит именно она и есть центр поворота.

Дополнительно проверим по соответствию вершин. При повороте на \(90^\circ\) по часовой стрелке стороны квадрата, исходно параллельные осям, меняют ориентацию: горизонтальные становятся вертикальными и наоборот. На чертеже сторона \(CD\) левого квадрата становится стороной \(DF\) правого квадрата, что согласуется с поворотом на \(90^\circ\) вокруг \(D\): луч \(D\!\to\!C\) при повороте на \(90^\circ\) по часовой стрелке совмещается с лучом \(D\!\to\!F\). Аналогично луч \(D\!\to\!A\) поворотом переходит в луч \(D\!\to\!E\), а \(D\!\to\!B\) — в \(D\!\to\!C\). Все соответствия исходят из одной и той же вершины \(D\), что возможно только при центре в \(D\).

Наконец, расстояния от центра до соответствующих вершин сохраняются: \(DC=DF\), \(DA=DE\), \(DB=DC\). Это свойство изометрии поворота подтверждает, что точка, относительно которой попарно равны отрезки \(D\!X\) и \(D\!X’\) для всех вершин \(X\in\{A,B,C\}\), есть центр поворота. Поскольку равенства выполняются именно для расстояний от \(D\), а сама точка \(D\) остаётся на месте, окончательно заключаем: центром поворота является \(D\).