ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.181 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольник AMKP, изображённый на рисунке 22.14, является образом прямоугольника ABCD при повороте против часовой стрелки на угол \(90^\circ\). Какая точка является центром поворота?

Центр поворота — точка \(A\).

Пояснение: при повороте на \(90^\circ\) против часовой стрелки вершины прямоугольника \(ABCD\) переходят в вершины прямоугольника \(AMKP\): \(B \to P\), \(C \to K\), \(D \to M\). Точка \(A\) остаётся на месте, значит именно \(A\) является центром поворота.

Центр поворота — точка \(A\).

При повороте на угол \(90^\circ\) против часовой стрелки фигура сохраняет размеры и форму, а все точки перемещаются по дугам окружностей, центр которых совпадает с центром поворота. Если сравнить расположение исходного прямоугольника \(ABCD\) и его образа \(AMKP\), видно, что общая вершина у обеих фигур одна — это \(A\). Точки \(B\), \(C\), \(D\) переходят соответственно в \(P\), \(K\), \(M\), а точка \(A\) остаётся неподвижной, что является определяющим признаком центра поворота: центр не меняет своего положения при любом повороте.

Проверка согласованности: отрезок \(AB\) перпендикулярен отрезку \(AP\), а их длины равны, то есть \(|AB|=|AP|\) и угол \(\angle BAP=90^\circ\), что соответствует повороту точки \(B\) вокруг \(A\) в \(P\). Аналогично \(|BC|=|PK|\) и \(\angle CBK=90^\circ\) по отношению к центру \(A\), а также \(|AD|=|AM|\) и \(\angle DAM=90^\circ\). Совпадение равных длин и прямых углов при сохранении неподвижности \(A\) однозначно подтверждает, что именно \(A\) является центром поворота.

Следовательно, так как совпадают все условия поворота: неподвижность точки \(A\), равенство соответствующих отрезков и поворот смежных сторон на \(90^\circ\) с сохранением ориентации против часовой стрелки, центр поворота фигуры \(ABCD \to AMKP\) — точка \(A\).