ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.182 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Медианы треугольника ABC, изображённого на рисунке 22.15, пересекаются в точке M. Найдите коэффициент: 1) гомотетии с центром M, при которой точка \(C_1\) является образом точки C; 2) гомотетии с центром B, при которой точка M является образом точки \(B_1\).

1) По свойству центра тяжести \(M\) делит медиану \(CC_1\) как \(CM:MC_1=2:1\). Коэффициент гомотетии с центром \(M\), переводящей \(C\) в \(C_1\), равен \(k=\frac{MC_1}{MC}=-\frac{1}{2}\) (знак минус из‑за противоположных направлений).

2) На медиане \(BB_1\) точка \(M\) такова, что \(BM:MB_1=1:2\). Чтобы при гомотетии с центром \(B\) точка \(M\) была образом \(B_1\), нужно \(k=\frac{BM}{BB_1}=\frac{1}{2}\) (знак плюс, точки по одну сторону от \(B\)).

Ответ: \(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{2}\).

1) В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке M, которая называется центроидом или центром тяжести. По свойству центроида, каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Рассмотрим медиану CC₁. Тогда отношение отрезков CM к MC₁ равно 2 : 1, то есть \( CM : MC_1 = 2 : 1 \). Это означает, что точка M находится ближе к середине стороны AC, чем к вершине C, в два раза ближе.

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке M, при которой точка C переходит в точку C₁. Коэффициент гомотетии \( k \) равен отношению длины отрезка MC₁ к длине отрезка MC, но с учётом направления, так как точки C и C₁ лежат на одной прямой, но по разные стороны от центра M. Следовательно, коэффициент гомотетии будет равен

\( k = \frac{MC_1}{MC} = -\frac{1}{2} \).

Знак минус появляется из-за того, что вектор MC₁ направлен в противоположную сторону относительно вектора MC.

2) Рассмотрим теперь медиану BB₁. Точка M делит эту медиану в отношении \( BM : MB_1 = 1 : 2 \), то есть M находится в одной трети длины медианы от вершины B. При этом для гомотетии с центром в точке B, при которой точка M переходит в точку B₁, коэффициент гомотетии \( k \) равен отношению длины отрезка BM к длине отрезка BB₁:

\( k = \frac{BM}{BB_1} = \frac{1}{2} \).

Знак положительный, так как точки B, M и B₁ лежат на одной прямой и находятся по одну сторону от центра гомотетии B.

Итоговый ответ: коэффициенты гомотетии для указанных случаев равны соответственно

\( k_1 = -\frac{1}{2} \) и \( k_2 = \frac{1}{2} \).