ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.183 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(A_1 (-1; 4)\) является образом точки A \((2; -8)\) при гомотетии с центром в начале координат. Чему равен коэффициент гомотетии?

Гомотетия с центром в начале координат задаётся формулой \( A_1(x_1; y_1) = (k \cdot x; k \cdot y) \).

Из условия: \( A(2; -8) \) и \( A_1(-1; 4) \).

Составим уравнения для координат: для абсциссы: \( 2k = -1 \), для ординаты: \((-8)k = 4 \).

Решаем первое уравнение: \( k = \frac{-1}{2} \).

Проверяем второе: \( k = \frac{4}{-8} = \frac{-1}{2} \).

Знак и модуль коэффициента: отрицательное значение \( k \) означает центральное симметрирование относительно начала координат с масштабированием, а модуль \( |k| = \frac{1}{2} \) показывает уменьшение расстояний в 2 раза.

Итог: \( k = -\frac{1}{2} \).

Гомотетия с центром в начале координат преобразует каждую точку плоскости по правилу: если исходная точка имеет координаты \(A(x;y)\), то её образ имеет координаты \(A_1(x_1;y_1)=(k\cdot x;\,k\cdot y)\), где \(k\) — коэффициент гомотетии. Нам известны \(A(2;-8)\) и \(A_1(-1;4)\). Это означает, что умножение обеих координат точки \(A\) на одно и то же число \(k\) должно дать соответствующие координаты точки \(A_1\).

Составим уравнения для каждой координаты, сопоставляя исходную и образ: для абсциссы получаем \(2k=-1\), для ординаты получаем \((-8)k=4\). Каждое из этих уравнений позволяет найти одно и то же значение \(k\). Решим первое: \(2k=-1\Rightarrow k=-\frac{1}{2}\). Проверим по второй координате: \((-8)k=4\Rightarrow k=\frac{4}{-8}=-\frac{1}{2}\). Совпадение результатов подтверждает корректность вычислений и то, что действительно одна и та же константа масштабирования порождает обе координаты образа.

Интерпретация знака и модуля коэффициента: отрицательное значение \(k\) означает, что при гомотетии происходит центральное симметрирование относительно начала координат вместе с масштабированием, то есть точка переносится на противоположную сторону от центра. Модуль \(|k|=\frac{1}{2}\) показывает, что расстояния от начала координат уменьшаются в \(2\) раза. Поэтому итоговый ответ таков: \(k=-\frac{1}{2}\).