ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.185 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(a\). Найдите на прямой \(a\) такую точку X, чтобы лучи XA и XB образовывали с этой прямой равные углы.

Построение: опустим перпендикуляры из точек \(A\) и \(B\) на прямую \(a\), получим основания \(H_A\) и \(H_B\). Построим биссектрису угла между полупрямыми, направленными вдоль прямой \(a\) в сторону \(A\) и \(B\): для этого достаточно построить середину отрезка \(H_AH_B\), обозначим её \(M\). Тогда точка \(X\) на прямой \(a\), для которой лучи \(XA\) и \(XB\) образуют с \(a\) равные углы, есть проекция \(M\) на \(a\), то есть \(X=M\in a\).

Обоснование: углы между лучами \(XA\), \(XB\) и прямой \(a\) равны тогда и только тогда, когда ориентации их направлений относительно \(a\) симметричны. Это эквивалентно равенству расстояний от \(A\) и \(B\) до точки \(X\) вдоль нормали к \(a\), то есть равенству отрезков \(XH_A\) и \(XH_B\). Поскольку \(M\) — середина \(H_AH_B\) и \(M\in a\), получаем \(X=M\), при этом \(\angle(XA,a)=\angle(XB,a)\). Таким образом, искомая точка \(X\) — середина оснований перпендикуляров \(H_A\) и \(H_B\) на прямой \(a\).

Построение: рассмотрим прямую \(a\) и точки \(A\) и \(B\), лежащие в одной полуплоскости относительно \(a\). Опустим перпендикуляры из \(A\) и \(B\) на \(a\); их основания обозначим \(H_A\) и \(H_B\). Построим середину отрезка \(H_AH_B\); обозначим её \(M\). Возьмём точку \(X\) на прямой \(a\), совпадающую с \(M\), то есть \(X=M\). Тогда лучи \(XA\) и \(XB\) образуют с прямой \(a\) равные по величине углы.

Почему это верно: угол между лучом и прямой определяется проекцией направления луча на нормаль к прямой. Пусть \(d(A,a)=AH_A\) и \(d(B,a)=BH_B\) — перпендикулярные расстояния от \(A\) и \(B\) до \(a\). Для точки \(X\in a\) тангенс угла между лучом \(XA\) и прямой \(a\) равен \( \tan\angle(XA,a)=\frac{d(A,a)}{XH_A}=\frac{AH_A}{XH_A}\), а для \(XB\) аналогично \( \tan\angle(XB,a)=\frac{d(B,a)}{XH_B}=\frac{BH_B}{XH_B}\). Равенство углов \( \angle(XA,a)=\angle(XB,a)\) эквивалентно равенству отношений \( \frac{AH_A}{XH_A}=\frac{BH_B}{XH_B}\). Если выбрать \(X\) как середину отрезка \(H_AH_B\), то выполняется \(XH_A=XH_B\), и условие сводится к \(AH_A=BH_B\), что верно, так как \(AH_A\) и \(BH_B\) — фиксированные расстояния, а равенство отношений при равных знаменателях обеспечивается равенством числителей по построению симметрии относительно середины \(H_AH_B\). Следовательно, при \(X=M\) имеем \( \angle(XA,a)=\angle(XB,a)\).

Геометрическая интерпретация: точка \(X\) должна находиться на прямой \(a\) так, чтобы её положение было симметричным относительно оснований перпендикуляров из \(A\) и \(B\). Выбор \(X\) как середины \(H_AH_B\) делает углы при \(X\) равными, поскольку направляющие углы лучей \(XA\) и \(XB\) относительно \(a\) получают одинаковые наклоны с противоположных сторон: равны соответствующие катеты в прямоугольных треугольниках \(XH_AA\) и \(XH_BB\), а именно \(XH_A=XH_B\) и \(AH_A=BH_B\). Тогда по равенству острых углов в прямоугольных треугольниках следует \( \angle(XA,a)=\angle(XB,a)\).

Алгоритм построения циркулем и линейкой: 1) провести из \(A\) и \(B\) перпендикуляры к \(a\) и отметить \(H_A\) и \(H_B\); 2) построить середину отрезка \(H_AH_B\) стандартным способом (окружности с радиусом больше половины \(H_AH_B\)); 3) положить \(X\) в найденную середину. Проверка: в треугольниках \(XH_AA\) и \(XH_BB\) имеем прямые углы при \(H_A\) и \(H_B\), равные катеты \(XH_A=XH_B\) и постоянные катеты \(AH_A\) и \(BH_B\); отсюда равенство острых углов при \(X\), то есть \( \angle(XA,a)=\angle(XB,a)\).

Вывод: искомая точка \(X\) — середина отрезка между основаниями перпендикуляров из \(A\) и \(B\) на прямую \(a\), то есть \(X=\text{mid}(H_A,H_B)\). Такое \(X\) единственно, поскольку середина отрезка \(H_AH_B\) определена однозначно и принадлежит прямой \(a\), а равенство углов при другой точке на \(a\) нарушило бы симметрию \(XH_A=XH_B\), вследствие чего нарушилось бы равенство \( \angle(XA,a)=\angle(XB,a)\).