ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.186 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(a\). Найдите на прямой \(a\) такую точку X, чтобы сумма AX + XB была наименьшей.

Построение: Отразите точку \(B\) относительно прямой \(a\), получив точку \(B’\). Проведите прямую \(AB’\), и пусть она пересекает прямую \(a\) в точке \(X\).

Обоснование: По свойству отражения \(XB = XB’\), поэтому \(AX + XB = AX + XB’ = AB’\). Длина \(AB’\) минимальна среди всех ломаных \(A \to X \to B\), так как это прямая. Следовательно, искомая точка \(X\) — точка пересечения \(a\) с прямой \(AB’\).

Построение: Отразите точку \(B\) симметрично относительно прямой \(a\), получив точку \(B’\). Это отражение сохраняет расстояния до прямой \(a\), то есть для любой точки \(X\) на \(a\) выполняется равенство \(XB = XB’\). Затем проведите прямую \(AB’\) и обозначьте через \(X\) точку её пересечения с прямой \(a\). Такая точка \(X\) существует и единственна, поскольку \(AB’\) не параллельна \(a\) в общем положении, а \(A\) и \(B\) лежат в одной полуплоскости относительно \(a\).

Обоснование минимальности: Для любой точки \(X \in a\) имеем \(AX + XB = AX + XB’ = AB’\), где последнее равенство достигается именно при выборе \(X\) как точки пересечения \(AB’\) с \(a\). Действительно, по треугольному неравенству для пути от \(A\) к \(B’\) через \(X\) верно \(AX + XB’ \geq AB’\), а равенство в треугольном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда точки \(A\), \(X\), \(B’\) коллинеарны и \(X\) лежит между \(A\) и \(B’\). Ровно это обеспечивает построение прямой \(AB’\) и выбор \(X = AB’ \cap a\). Поскольку для любого другого \(X’ \in a\) имеем \(AX’ + X’B = AX’ + X’B’ \geq AB’\), выбранная точка \(X\) даёт наименьшее возможное значение суммы \(AX + XB\).

Геометрическая идея: Задача эквивалентна поиску кратчайшего пути из \(A\) к \(B\) с обязательным касанием прямой \(a\). Отражение переводит её в задачу о кратчайшем пути из \(A\) к \(B’\) без ограничений, ответом на которую является прямая \(AB’\). Тем самым оптимальный путь \(A \to X \to B\) превращается в прямой отрезок \(AB’\) с промежуточной точкой \(X\) на \(a\). В силу равенства \(XB = XB’\) получаем \(AX + XB = AX + XB’ = AB’\), а так как длина прямого отрезка между двумя точками минимальна среди всех ломаных, искомая точка \(X\) однозначно определяется как точка пересечения прямой \(AB’\) с прямой \(a\).