ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.187 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Вершина A квадрата ABCD является центром поворота на угол \(90^\circ\). Найдите отрезок \(BC_1\), где точка \(C_1\) — образ точки C при указанном повороте, если \(AB = 1\) см.

Пусть квадрат \(ABCD\) с центром поворота в вершине \(A\) и \(AB=1\) см.

Первый случай — поворот по часовой стрелке: точка \(C\) переходит в \(C_1\) так, что отрезок \(BC_1\) совпадает со стороной квадрата, поэтому \(BC_1=1\) см.

Второй случай — поворот против часовой стрелки: координатно \(B(1,0)\), \(C(1,1)\), после поворота вокруг \(A(0,0)\) получаем \(C_1(-1,1)\). Тогда \(BC_1=\sqrt{(1-(-1))^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\) см.

Ответ: \(1\) см или \(\sqrt{5}\) см.

Рассмотрим квадрат со стороной длины \(1\) см и вершинами \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(1,1)\), \(D(0,1)\). Поворот на \(90^\circ\) вокруг вершины \(A\) сохраняет расстояния до точки \(A\) и переводит каждые оси в перпендикулярные направления. Если поворачивать по часовой стрелке, вектор от \(A\) к \(C\) равен \((1,1)\) и переходит в \((1,-1)\). Тогда образ точки \(C\) равен \(C_1(1,-1)\). Для вычисления расстояния от \(B\) к \(C_1\) используем формулу расстояния: \(BC_1=\sqrt{(1-1)^{2}+(0-(-1))^{2}}=\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1\) см. Это означает, что в случае поворота по часовой стрелке отрезок \(BC_1\) совпадает по длине со стороной исходного квадрата.

Если поворачивать против часовой стрелки, тот же вектор \((1,1)\) переходит в \((-1,1)\), поэтому образ точки \(C\) равен \(C_1(-1,1)\). Вычислим расстояние от \(B\) к \(C_1\): \(BC_1=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\) см. Геометрически это соответствует тому, что точка \(C_1\) располагается по диагонали относительно \(B\), и отрезок \(BC_1\) образует гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами длины \(2\) и \(1\).

Таким образом, при повороте квадрата на \(90^\circ\) вокруг вершины \(A\) возможны два значения длины отрезка \(BC_1\) в зависимости от направления поворота: \(BC_1=1\) см для поворота по часовой стрелке и \(BC_1=\sqrt{5}\) см для поворота против часовой стрелки. Эти результаты напрямую следуют из координатного описания и применения формулы расстояния между двумя точками на плоскости, где квадрат имеет единичную сторону, а преобразование поворота на \(90^\circ\) меняет направление векторов, сохраняя их длину относительно центра поворота.