ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.188 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Пусть вершина A равностороннего треугольника ABC является центром поворота на угол \(120^\circ\). Найдите отрезок \(BC_1\), где точка \(C_1\) — образ точки C при указанном повороте, если \(AB = 1\) см.

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) с \(AB = 1\) см, где вершина \(A\) — центр поворота на угол \(120^\circ\). Нужно найти длину отрезка \(B’C_1\), где \(C_1\) — образ точки \(C\) после поворота.

Поместим \(A\) в \((0, 0)\), \(B\) в \((1, 0)\), а \(C\) в \((0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})\), так как треугольник равносторонний. Поворот на \(120^\circ\) против часовой стрелки переводит точку \(C\) в \(C_1\). Используя матрицу поворота, получаем координаты \(C_1(-1, 0)\). Тогда расстояние \(B’C_1\) между \(B(1, 0)\) и \(C_1(-1, 0)\) равно \(\sqrt{(1 — (-1))^2} = 2\) см.

При повороте на \(120^\circ\) по часовой стрелке координаты \(C_1\) становятся \((0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})\). Расстояние \(B’C_1\) между \(B(1, 0)\) и \(C_1(0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})\) равно \(\sqrt{(1 — 0.5)^2 + (0 — (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1\) см.

Таким образом, длина отрезка \(B’C_1\) может быть \(2\) см или \(1\) см в зависимости от направления поворота.

Для решения задачи о повороте равностороннего треугольника \(ABC\) с длиной стороны \(AB = 1\) см на угол \(120^\circ\) вокруг вершины \(A\) и нахождения длины отрезка \(B’C_1\), где \(C_1\) — это образ точки \(C\) после поворота, нам нужно детально рассмотреть геометрические и алгебраические аспекты. Сначала мы перенесем треугольник в координатную плоскость, чтобы упростить вычисления. Поместим вершину \(A\) в начало координат, то есть в точку \((0, 0)\). Вершину \(B\) разместим на оси \(x\) в точке \((1, 0)\), так как длина стороны \(AB\) равна \(1\) см. Поскольку треугольник равносторонний, все стороны равны, а углы составляют \(60^\circ\). Это позволяет определить координаты вершины \(C\). В равностороннем треугольнике с основанием \(AB\) вдоль оси \(x\), координаты точки \(C\) будут \((0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})\), так как высота треугольника равна \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\), а основание делится пополам, то есть середина основания находится в точке \((0.5, 0)\), и вершина \(C\) расположена прямо над ней.

Теперь перейдем к повороту точки \(C\) вокруг точки \(A(0, 0)\) на угол \(120^\circ\). Поворот точки на заданный угол в координатной плоскости можно описать с помощью матрицы поворота. Для поворота против часовой стрелки на угол \(\theta\), матрица имеет вид \(\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\). В нашем случае угол \(\theta = 120^\circ\), так что \(\cos 120^\circ = -0.5\), а \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, матрица поворота становится \(\begin{pmatrix} -0.5 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -0.5 \end{pmatrix}\). Применяя эту матрицу к координатам точки \(C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})\), вычислим новые координаты точки \(C_1\). Для координаты \(x\) получаем: \(x_1 = 0.5 \cdot (-0.5) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -0.25 — \frac{3}{4} = -0.25 — 0.75 = -1\). Для координаты \(y\) получаем: \(y_1 = 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-0.5) = \frac{\sqrt{3}}{4} — \frac{\sqrt{3}}{4} = 0\). Итак, после поворота против часовой стрелки точка \(C_1\) имеет координаты \((-1, 0)\). Теперь найдем расстояние между точками \(B'(1, 0)\) (это точка \(B\), так как она не поворачивается) и \(C_1(-1, 0)\). Расстояние вычисляется по формуле \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\), что дает \(\sqrt{(1 — (-1))^2 + (0 — 0)^2} = \sqrt{(2)^2} = \sqrt{4} = 2\) см. Таким образом, при повороте против часовой стрелки длина отрезка \(B’C_1\) равна \(2\) см.

Рассмотрим также поворот на \(120^\circ\) по часовой стрелке, что эквивалентно повороту на угол \(-120^\circ\). В этом случае \(\cos(-120^\circ) = -0.5\), а \(\sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), и матрица поворота принимает вид \(\begin{pmatrix} -0.5 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -0.5 \end{pmatrix}\). Применяя эту матрицу к координатам точки \(C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})\), вычислим координаты \(C_1\). Для \(x_1\): \(x_1 = 0.5 \cdot (-0.5) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.25 + \frac{3}{4} = -0.25 + 0.75 = 0.5\). Для \(y_1\): \(y_1 = 0.5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-0.5) = -\frac{\sqrt{3}}{4} — \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, точка \(C_1\) имеет координаты \((0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})\). Теперь вычислим расстояние между \(B'(1, 0)\) и \(C_1(0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})\) по той же формуле: \(\sqrt{(1 — 0.5)^2 + (0 — (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = \sqrt{1} = 1\) см. Следовательно, при повороте по часовой стрелке длина отрезка \(B’C_1\) равна \(1\) см.

Важно отметить, что в задаче не указано направление поворота, поэтому оба варианта являются возможными решениями. Геометрически это можно объяснить тем, что поворот на \(120^\circ\) в разные стороны приводит точку \(C\) в разные положения относительно точки \(B\), что и дает разные длины отрезка \(B’C_1\). При повороте против часовой стрелки точка \(C_1\) оказывается на оси \(x\) слева от начала координат, на расстоянии \(2\) см от точки \(B\), а при повороте по часовой стрелке точка \(C_1\) располагается ниже оси \(x\), образуя с точкой \(B\) отрезок длиной \(1\) см, что соответствует исходной стороне треугольника. Это подтверждает корректность расчетов, так как в равностороннем треугольнике поворот на \(120^\circ\) может приводить к совмещению вершин или образованию новых конфигураций.

Таким образом, в зависимости от направления поворота, длина отрезка \(B’C_1\) может принимать два значения: \(2\) см при повороте против часовой стрелки и \(1\) см при повороте по часовой стрелке. Эти результаты получены на основе строгих математических вычислений с использованием координатной геометрии и матриц поворота, что позволяет с уверенностью утверждать их точность.