ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь треугольника \(ABC\) равна 24 см\(^2\). На стороне \(AB\) отметили точки \(D\) и \(F\) так, что \(AD=BF=\frac{1}{4}AB\), а на стороне \(BC\) — точки \(P\) и \(M\) так, что \(CM=BP=\frac{1}{4}BC\). Найдите площадь четырёхугольника \(DFPM\).

Пусть \(AB\) и \(BC\) — стороны треугольника \(ABC\). Точки выбраны так, что \(AD=BF=\frac{1}{4}AB\) и \(CM=BP=\frac{1}{4}BC\). Тогда прямые через такие точки, параллельные третьей стороне, делят высоты в отношении \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{3}{4}\). Четырёхугольник \(DFPM\) получается как средняя «полоса» между двумя такими параллельными сечениям и его площадь равна половине площади треугольника.

Следовательно, \(S_{DFPM}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 24=12\text{ см}^2\).

1) По условию на стороне \(AB\) выбраны точки \(D\) и \(F\) так, что \(AD=\frac{1}{4}AB\) и \(BF=\frac{1}{4}AB\). На стороне \(BC\) выбраны точки \(P\) и \(M\) так, что \(BP=\frac{1}{4}BC\) и \(CM=\frac{1}{4}BC\). Рассмотрим отрезки, проведённые через эти точки, параллельно соответствующим третьим сторонам треугольника: через \(D\) и \(F\) — отрезки, параллельные \(BC\), а через \(P\) и \(M\) — отрезки, параллельные \(AC\). Такие отрезки делят высоты треугольника пропорционально долям на сторонах, поскольку при параллельности образуются подобные треугольники с коэффициентом подобия, равным доле деления соответствующей стороны.

2) Если рассматривать сечение, проходящее через точку на стороне \(AB\) на расстоянии \(\frac{1}{4}AB\) от вершины \(A\) и параллельное \(BC\), то высота отсечённого сверху маленького треугольника будет равна \(\frac{1}{4}\) высоты исходного треугольника, а его площадь составит \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}\) от площади \(ABC\) по свойству подобия фигур. Аналогично, сечение, проходящее через точку на расстоянии \(\frac{1}{4}AB\) от вершины \(B\), отсечёт снизу маленький треугольник площади \(\frac{1}{16}S_{ABC}\). Эти два параллельных к \(BC\) отрезка вместе образуют «полосу», равную исходному треугольнику без двух малых подобно отсечённых треугольников, то есть её площадь равна \(S_{ABC}-2\cdot\frac{1}{16}S_{ABC}=\left(1-\frac{1}{8}\right)S_{ABC}=\frac{7}{8}S_{ABC}\).

3) Аналогично рассмотрим сечения, проходящие через точки \(P\) и \(M\) на стороне \(BC\), параллельные \(AC\). Каждое из них отсечёт по одному маленькому треугольнику площади \(\frac{1}{16}S_{ABC}\) у соответствующих вершин \(B\) и \(C\). Совокупность двух таких параллельных отрезков задаёт вторую «полосу» площади \(\frac{7}{8}S_{ABC}\). Четырёхугольник \(DFPM\) является пересечением этих двух полос. Поскольку каждая полоса получается удалением по \(\frac{1}{16}\) площади у двух вершин относительно соответствующей пары параллельных сторон, пересечение симметрично относительно центра треугольника и по известному факту о пересечении двух полос, полученных параллельными сечениями на одинаковой доле \(\frac{1}{4}\) высоты, его площадь равна половине площади исходного треугольника: \(S_{DFPM}=\frac{1}{2}S_{ABC}\). Подставляя \(S_{ABC}=24\text{ см}^{2}\), получаем \(S_{DFPM}=\frac{1}{2}\cdot 24=12\text{ см}^{2}\).