ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота \(AD\) треугольника \(ABC\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BD\) и \(CD\) так, что \(BD=15\) см, \(CD=5\) см. Найдите сторону \(AC\), если \(\angle B=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(ABD\) при \(\angle B=30^\circ\) и \(BD=15\) получаем \(AD=BD\cdot\tan 30^\circ=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}\).

В прямоугольном треугольнике \(ADC\): \(AC^2=AD^2+DC^2=(5\sqrt{3})^2+5^2=75+25=100\), следовательно \(AC=10\text{ см}\).

1. Рассмотрим высоту \(AD\), опущенную из вершины \(A\) на сторону \(BC\), которая делит её на отрезки \(BD=15\) и \(CD=5\). Угол при вершине \(B\) равен \(30^\circ\), поэтому треугольник \(ABD\) прямоугольный с прямым углом при \(D\) и острым углом \(30^\circ\) при \(B\). В таком треугольнике удобно воспользоваться тригонометрическим соотношением для тангенса: \( \tan 30^\circ=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\frac{AD}{BD} \). Подставляя известные значения, получаем \( \tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3} \), следовательно \( AD=BD\cdot\tan 30^\circ=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3} \). Тем самым высота равна \(AD=5\sqrt{3}\), что согласуется с применением стандартного значения тангенса угла \(30^\circ\).

2. Теперь используем треугольник \(ADC\), который также является прямоугольным, поскольку \(AD\) высота, значит \( \angle ADC=90^\circ \). В этом треугольнике известны катеты \(AD=5\sqrt{3}\) и \(DC=5\). Требуется найти гипотенузу \(AC\). Применяем теорему Пифагора: \( AC^2=AD^2+DC^2 \). Подставляем найденные значения и аккуратно возводим в степень: \( AD^2=(5\sqrt{3})^2=25\cdot 3=75 \), \( DC^2=5^2=25 \). Тогда получаем \( AC^2=75+25=100 \). Отсюда длина стороны \(AC\) равна положительному корню из \(100\), то есть \( AC=\sqrt{100}=10 \text{ см} \).

3. Итоговый ответ основан на последовательном применении двух базовых идей: во-первых, использование тангенса угла \(30^\circ\) в прямоугольном треугольнике \(ABD\) для нахождения высоты \(AD\), где отношение катетов даёт \( AD=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3} \); во-вторых, применение теоремы Пифагора в треугольнике \(ADC\) для вычисления гипотенузы \(AC\) по найденной высоте и известному отрезку \(DC\), что приводит к равенству \( AC^2=75+25=100 \) и результату \( AC=10 \text{ см} \). Таким образом, сторона \(AC\) равна \(10 \text{ см}\), что полностью совпадает с расчётами на изображении.