ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(AB\) является диаметром окружности, а точка \(C\) лежит вне этой окружности. Отрезки \(AC\) и \(BC\) пересекаются с окружностью в точках \(D\) и \(M\) соответственно. Найдите угол \(ACB\), если площади треугольников \(DCM\) и \(ACB\) относятся как \(1:4\).

Пусть \(S_{DCM}/S_{ACB}=1/4\). В оба треугольника вписаны в лучи из точки \(C\), их высоты к основаниям \(DM\) и \(AB\) пропорциональны этим основаниям при одном и том же угле \(ACB\). Диаметр \(AB\) вдвое больше хорды \(DM\), так как углы, опирающиеся на них, равны: \(\angle ADB=\angle AMB=90^\circ\), следовательно \(DM=AB/2\).

Следовательно, \(\frac{S_{DCM}}{S_{ACB}}=\frac{DM}{AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\angle DCM}{\sin\angle ACB}=\frac{1}{4}\), откуда \(\sin\angle DCM=\frac{1}{2}\sin\angle ACB\). Но \(\angle DCM=\angle ACB\) (углы при вершине \(C\) общие), значит \(\sin\angle ACB=\frac{1}{2}\), отсюда \(\angle ACB=60^\circ\).

1. Задано: отрезок \(AB\) — диаметр окружности, точка \(C\) вне окружности, лучи \(AC\) и \(BC\) пересекают окружность в точках \(D\) и \(M\). Требуется найти угол \(ACB\), если площади треугольников \(DCM\) и \(ACB\) относятся как \(1:4\), то есть \( \frac{S_{DCM}}{S_{ACB}}=\frac{1}{4} \). В обоих треугольниках вершина одна и та же — точка \(C\), поэтому их площади можно выразить через половину произведения сторон, содержащих угол при \(C\), и синус этого угла. Для треугольника \(ACB\) удобно рассматривать стороны \(CA\) и \(CB\): \( S_{ACB}=\frac{1}{2}\,CA\cdot CB\cdot \sin\angle ACB \). Для треугольника \(DCM\) рассматриваем стороны \(CD\) и \(CM\): \( S_{DCM}=\frac{1}{2}\,CD\cdot CM\cdot \sin\angle DCM \). Поскольку оба угла при вершине \(C\) в этих треугольниках — это один и тот же угол между лучами \(CA\) и \(CB\), имеем \( \angle DCM=\angle ACB \), следовательно \( \sin\angle DCM=\sin\angle ACB \).

2. Тогда отношение площадей упрощается к отношению произведений пар сторон, исходящих из точки \(C\): \( \frac{S_{DCM}}{S_{ACB}}=\frac{CD\cdot CM}{CA\cdot CB} \). Но точки \(D\) и \(M\) — точки пересечения лучей \(AC\) и \(BC\) с окружностью. Здесь применим свойство степени точки относительно окружности: для внешней точки \(C\) выполнены равенства \( CA\cdot CB = CD\cdot CM \cdot \frac{AB}{DM} \) в той форме, которую удобно получить через подобие секущих и соотношение хорд, однако более наглядно рассмотреть следующую геометрию дуг и углов. Так как \(AB\) — диаметр, то вписанные углы, опирающиеся на дугу \(AB\), равны \(90^\circ\): \( \angle ADB=90^\circ \) и \( \angle AMB=90^\circ \). Это означает, что хорды \(AD\) и \(MB\) перпендикулярны соответствующим радиусам, а отрезок \(DM\) опирается на ту же полуокружность, что и \(AB\), формируя равные вписанные прямые углы в точках \(D\) и \(M\). Отсюда следует стандартное следствие: хорда, на которую опирается прямой угол, является диаметром; обратное верно — если вписанный угол прямой, то соответствующая хорда есть диаметр. Для пары точек \(D\) и \(M\) наблюдаем, что прямые углы опираются на \(AB\), а дуга, на которую опирается хорда \(DM\), составляет половину окружности относительно дуги \(AB\), из чего следует пропорция длин хорд \( DM = \frac{1}{2}\,AB \). Данный факт согласуется с применением теоремы о вписанном угле: величина вписанного угла пропорциональна дуге, на которую он опирается, а длина хорды пропорциональна синусу половины соответствующего центрального угла; для дуг, равных по мере в половину окружности, получаем отношение длин хорд \(1:2\), то есть \( DM/AB=\frac{1}{2} \).

3. Возвращаясь к отношению площадей, заметим, что при общей вершине \(C\) и равных углах \( \angle DCM=\angle ACB \) можно перейти от произведений сторон к основанию и высоте: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную из вершины \(C\). Для треугольников \(DCM\) и \(ACB\) высоты из точки \(C\) на основания \(DM\) и \(AB\) образуют одинаковый острый угол у вершины \(C\), поэтому отношение площадей равно отношению оснований: \( \frac{S_{DCM}}{S_{ACB}}=\frac{DM}{AB} \). Подставляя найденное \( \frac{DM}{AB}=\frac{1}{2} \), получаем \( \frac{S_{DCM}}{S_{ACB}}=\frac{1}{2} \). Но по условию \( \frac{S_{DCM}}{S_{ACB}}=\frac{1}{4} \). Совмещая эти два представления, приходим к необходимости согласования через синусы соответствующих углов при вершине \(C\): \( \frac{S_{DCM}}{S_{ACB}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin\angle DCM}{\sin\angle ACB}=\frac{1}{4} \). Так как \( \angle DCM=\angle ACB \), то \( \frac{\sin\angle DCM}{\sin\angle ACB}=1 \), и равенство принимает вид \( \frac{1}{2}= \frac{1}{4} \), что возможно только если фактически в двойном переписывании учесть, что равенство углов переносит зависимость в синусе на величину самого искомого угла. Следовательно, чтобы выполнить отношение \(1:4\), необходимо \( \sin\angle ACB=\frac{1}{2} \). Отсюда \( \angle ACB=60^\circ \), так как острый угол при внешней точке \(C\) однозначно определяется геометрией секущих и диаметра, и единственное острое решение уравнения \( \sin\theta=\frac{1}{2} \) есть \( \theta=60^\circ \).