ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность, построенная на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) как на диаметре, пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(F\) соответственно. Найдите отношение площадей треугольников \(MFB\) и \(ABC\), если \(\angle ABC=45^\circ\).

Так как окружность построена на \(AC\) как на диаметре, то \(\angle AMC=\angle AFC=90^\circ\). Значит, в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(F\) получаются опусканием перпендикуляров из вершины \(B\) на \(AB\) и \(BC\) соответственно, то есть \(BM\perp AB\) и \(BF\perp BC\).

Пусть \(AB=c\), \(BC=a\), \(\angle ABC=45^\circ\). Тогда высоты к сторонам \(AB\) и \(BC\) равны \(BM=c\sin45^\circ=\frac{c}{\sqrt2}\) и \(BF=a\sin45^\circ=\frac{a}{\sqrt2}\).

Площади: \(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin45^\circ=\frac12\cdot a c\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{ac}{2\sqrt2}\). Для \(S_{MFB}\) берем как прямоугольный треугольник с катетами \(BM\) и \(BF\): \(S_{MFB}=\frac12\cdot \frac{c}{\sqrt2}\cdot \frac{a}{\sqrt2}=\frac{ac}{4}\cdot\frac12=\frac{ac}{4\cdot 1} \cdot \frac{1}{?}\). Упростим напрямую: \(S_{MFB}=\frac12\cdot \frac{ac}{2}=\frac{ac}{4}\).

Отношение: \(\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{ac}{4}}{\frac{ac}{2\sqrt2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2\sqrt2}{1}=\frac{\sqrt2}{2}=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\).

Ответ: \(\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\).

1) Так как окружность построена на отрезке \(AC\) как на диаметре, то всякий вписанный угол, опирающийся на дугу \(AC\), является прямым: \( \angle AMC=90^\circ \) и \( \angle AFC=90^\circ \). Следовательно, точки пересечения этой окружности со сторонами \(AB\) и \(BC\) дают перпендикуляры из вершины \(B\): \(BM\perp AB\) и \(BF\perp BC\). Это означает, что треугольник \(MFB\) прямоугольный с вершиной прямого угла в точке \(B\), а его катеты равны длинам высот из \(B\) к сторонам \(AB\) и \(BC\).

2) Обозначим \(AB=c\), \(BC=a\), и зафиксируем угол при вершине \(B\): \( \angle ABC=45^\circ \). Высота к стороне \(AB\) равна длине проекции \(BM\) на направление, перпендикулярное \(AB\): \( BM=AB\cdot\sin 45^\circ=c\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{\sqrt{2}} \). Аналогично для высоты к стороне \(BC\): \( BF=BC\cdot\sin 45^\circ=a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}} \). Таким образом, катеты прямоугольного треугольника \(MFB\) составляют \( \frac{c}{\sqrt{2}} \) и \( \frac{a}{\sqrt{2}} \).

3) Найдём площади. Площадь исходного треугольника \(ABC\) выражается через две стороны и угол между ними: \( S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{ac}{2\sqrt{2}} \). Площадь треугольника \(MFB\) как прямоугольного равна половине произведения его катетов: \( S_{MFB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{c}{\sqrt{2}}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{ac}{2}=\frac{ac}{4} \). Делим площади: \( \frac{S_{MFB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{ac}{4}}{\frac{ac}{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \). Так как отношение высот даёт коэффициент подобия по площади в квадрате, получаем эквивалентную запись \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} \), что совпадает с вычисленным значением. Ответ: \( \frac{S_{MFB}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2} \).