ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

По условию \(r=\frac{BC-AC}{2}\). Для прямоугольного треугольника \(r=\frac{a+b-c}{2}\), где \(a=AC\), \(b=BC\), \(c=AB\). Приравнивая: \(\frac{a+b-c}{2}=\frac{b-a}{2}\Rightarrow a+b-c=b-a\Rightarrow 2a=c\).

Так как \(c\) — гипотенуза, то по теореме синуса/косинуса из отношения \(2a=c\) получаем \(\sin B=\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle B=30^\circ\). Тогда \(\angle A=60^\circ\).

1) Пусть прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при \(C\), катеты \(AC=a\), \(BC=b\), гипотенуза \(AB=c\). Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник выражается через стороны как \(r=\frac{a+b-c}{2}\). По условию задачи радиус равен полуразности катетов, то есть \(r=\frac{b-a}{2}\). Приравниваем оба выражения радиуса: \(\frac{a+b-c}{2}=\frac{b-a}{2}\). Домножаем на \(2\) и приводим подобные члены: \(a+b-c=b-a\Rightarrow a-c=-a\Rightarrow 2a=c\). Получили важное соотношение между катетом \(a\) и гипотенузой \(c\).

2) Переходим к углам. В прямоугольном треугольнике \(\sin B=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{a}{c}\). Используем найденное соотношение \(2a=c\), тогда \(\sin B=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\). Отсюда угол \(B\) острый и удовлетворяет \(\sin B=\frac{1}{2}\), следовательно \(\angle B=30^\circ\). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\), то второй острый угол \(A\) равен \(60^\circ\).

3) Проверка согласованности через отношения сторон: в треугольнике с углами \(30^\circ\) и \(60^\circ\) гипотенуза равна удвоенному меньшему катету, то есть \(c=2a\), а больший катет \(b=a\sqrt{3}\). Тогда радиус вписанной окружности \(r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{a+a\sqrt{3}-2a}{2}=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}\), а полуразность катетов \(\frac{b-a}{2}=\frac{a\sqrt{3}-a}{2}=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}\). Оба выражения совпадают, что подтверждает условие. Следовательно, острые углы треугольника: \(\angle B=30^\circ\) и \(\angle A=60^\circ\).