ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна одному из катетов. Найдите острые углы треугольника.

В прямоугольном треугольнике с катетами \(a,b\) и гипотенузой \(c\): радиус вписанной окружности \(r=\frac{a+b-c}{2}\), радиус описанной \(R=\frac{c}{2}\). По условию \(r+R\) равно одному из катетов. Пусть \(r+R=a\). Тогда \(\frac{a+b-c}{2}+\frac{c}{2}=a\Rightarrow \frac{a+b}{2}=a\Rightarrow a=b\).

Из равенства катетов треугольник равнобедренный прямоугольный, следовательно, острые углы равны: \(\angle A=\angle B=45^\circ\).

1) Пусть в прямоугольном треугольнике катеты \(a,b\), гипотенуза \(c\). Из известных формул \(r=\frac{a+b-c}{2}\) и \(R=\frac{c}{2}\). По условию сумма радиусов равна одному из катетов. Если эта сумма равна \(a\), получаем \(r+R=a\Rightarrow \frac{a+b-c}{2}+\frac{c}{2}=a\Rightarrow \frac{a+b}{2}=a\Rightarrow a=b\). Аналогично, если считать, что сумма равна \(b\), выйдет \(b=a\). В любом случае выполняется \(a=b\), то есть прямоугольный треугольник равнобедренный.

2) В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы при катетах равны, а сумма острых углов равна \(90^\circ\). Следовательно, каждый из них равен \(45^\circ\): \(\angle A=\angle B=45^\circ\).

3) Проверка согласована с записью: из равенства \(r+R=\text{катет}\) следует равенство катетов и тем самым равнобедренность, что дает искомые острые углы \(45^\circ\) и \(45^\circ\).