ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что площадь \(S\) прямоугольного треугольника можно найти по формуле \(S=p(p-c)\), где \(p\) — полупериметр треугольника, \(c\) — длина гипотенузы.

Пусть у прямоугольного треугольника катеты \(a\) и \(b\), гипотенуза \(c\), полупериметр \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Из формулы площади прямоугольного треугольника \(S=\frac{1}{2}ab\).

Заметим, что по теореме Пифагора \((a+b)^2=(a-b)^2+4ab=c^2+2ab+(a^2+b^2-c^2)=c^2+2ab\), откуда \(ab=\frac{(a+b)^2-c^2}{2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2}\).

Тогда \(S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}(a+b+c)(a+b-c)=\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)=p(p-c)\).

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\). Его площадь выражается стандартной формулой \(S=\frac{1}{2}ab\), так как основание и высота взаимно перпендикулярны. Полупериметр треугольника равен \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Требуется показать, что та же самая площадь выражается через \(p\) и \(c\) как \(S=p(p-c)\). Идея доказательства состоит в том, чтобы выразить произведение катетов \(ab\) через сумму \(a+b\) и гипотенузу \(c\), затем подставить это выражение в формулу для \(S\) и свести к нужному виду.

Используем теорему Пифагора: \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\). Рассмотрим квадрат суммы катетов: \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\). Подставляя \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\), получаем \((a+b)^{2}=c^{2}+2ab\). Отсюда выражаем произведение катетов: \(2ab=(a+b)^{2}-c^{2}\). Разность квадратов раскладывается по формуле: \((a+b)^{2}-c^{2}=(a+b-c)(a+b+c)\). Следовательно, \(ab=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2}\). Это ключевой шаг: мы связали \(ab\) с суммой сторон и гипотенузой, что позволит выразить площадь через полупериметр.

Подставим найденное выражение в \(S=\frac{1}{2}ab\): \(S=\frac{1}{2}\cdot\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4}\). Заметим, что \(\frac{a+b+c}{2}=p\), а \(\frac{a+b-c}{2}=p-c\), потому что \(\frac{a+b-c}{2}=\frac{(a+b+c)-2c}{2}=p-c\). Тогда преобразуем выражение для площади: \(S=\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)=p(p-c)\). Таким образом, площадь прямоугольного треугольника действительно равна \(p(p-c)\), что и требовалось доказать.