ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что площадь \(S\) прямоугольного треугольника можно найти по формуле \(S=(p-a)(p-b)\), где \(p\) — полупериметр треугольника, \(a\) и \(b\) — длины катетов.

Пусть у прямоугольного треугольника катеты \(a\) и \(b\), тогда его площадь \(S=\frac{1}{2}ab\). Полупериметр \(p=\frac{a+b+c}{2}\), где \(c\) — гипотенуза.

Из выражения для \(p\) получаем \(p-a=\frac{b+c-a}{2}\) и \(p-b=\frac{a+c-b}{2}\). Тогда \((p-a)(p-b)=\frac{(b+c-a)(a+c-b)}{4}\).

По теореме Пифагора \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\). Следовательно, \((b+c-a)(a+c-b)=\big(c+(b-a)\big)\big(c+(a-b)\big)=c^{2}-(a-b)^{2}=\)
\(=a^{2}+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}=2ab\).

Отсюда \((p-a)(p-b)=\frac{2ab}{4}=\frac{1}{2}ab=S\). Таким образом, \(S=(p-a)(p-b)\).

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\). Площадь такого треугольника равна \(S=\frac{1}{2}ab\), так как она равна половине произведения катетов, которые образуют прямой угол. Полупериметр равен \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Из этого выражения непосредственно выводим два полезных равенства: \(p-a=\frac{b+c-a}{2}\) и \(p-b=\frac{a+c-b}{2}\). Тем самым произведение, которое требуется доказать, записывается как \((p-a)(p-b)=\frac{(b+c-a)(a+c-b)}{4}\).

2) Чтобы связать последний множитель с площадью, раскроем структуру произведения \((b+c-a)(a+c-b)\). Сгруппируем как суммы и разности относительно \(c\): \((c+(b-a))(c+(a-b))\). Заметим, что второе скобочное выражение является симметричной парой к первому, поэтому удобно воспользоваться формулой разности квадратов: \((x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}\), где берём \(x=c\) и \(y=a-b\). Тогда \((c+(b-a))(c+(a-b))=c^{2}-(a-b)^{2}\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\). Подставляя, получаем \(c^{2}-(a-b)^{2}=(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})=2ab\). Следовательно, \((b+c-a)(a+c-b)=2ab\), и значит \((p-a)(p-b)=\frac{2ab}{4}=\frac{1}{2}ab\).

3) Сопоставим полученное выражение с исходной формулой для площади. Мы уже знаем, что \(S=\frac{1}{2}ab\). Поскольку показано, что \((p-a)(p-b)=\frac{1}{2}ab\), делаем равенство \(S=(p-a)(p-b)\). Идея доказательства опирается на две ключевые связи: выражение полупериметра через стороны и применение теоремы Пифагора для замены \(c^{2}\) на \(a^{2}+b^{2}\). В результате алгебраическое преобразование произведения \((p-a)(p-b)\) приводит точно к формуле площади прямоугольного треугольника, что и требовалось показать.