ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Найдём гипотенузу: \(c=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\).

Пусть окружность касается большего катета \(b=12\) и проходит через вершину при меньшем катете. Тогда в прямоугольном треугольнике отрезок гипотенузы, заключённый между касательной и точкой касания, подобен исходному треугольнику, а радиус \(r\) равен разности полугипотенузы и проекции меньшего катета на гипотенузу: \(r=\frac{c}{2}-\frac{a^{2}}{c}\), где \(a=5\).

Подставим: \(r=\frac{13}{2}-\frac{25}{13}=\frac{169-50}{26}=\frac{119}{26}\).

Ответ: \(r=\frac{65}{18}\,\text{см}\).

1) Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см по теореме Пифагора: \(c=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=13\). Обозначим вершины: при катете 5 см пусть угол \(C\), при катете 12 см угол \(B\), гипотенуза \(AB=13\). Рассматривается окружность с центром на гипотенузе \(AB\), которая касается большего катета \(b=BC=12\) и проходит через вершину \(A\), противолежащую углу при катете 12 см. Пусть центр окружности \(O\in AB\), радиус \(r\), точка касания с катетом \(BC\) равна \(K\). Тогда \(OK\perp BC\) и \(OK=r\), а также \(OA=r\) как радиус к точке \(A\) на окружности.

2) Проведём высоту из \(C\) на \(AB\) и обозначим её основание \(H\). Из подобия прямоугольных треугольников \( \triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle HCB \) известны формулы проекций катетов на гипотенузу: проекция меньшего катета \(a=AC=5\) на гипотенузу равна \(AH=\frac{a^{2}}{c}=\frac{25}{13}\), а проекция большего катета \(b=BC=12\) равна \(HB=\frac{b^{2}}{c}=\frac{144}{13}\). Так как центр \(O\) лежит на гипотенузе и окружность касается \(BC\), радиус, опущенный на \(BC\), параллелен катету \(AC\). Отсюда прямоугольные треугольники \( \triangle OKB \) и \( \triangle ACB \) подобны: у них общий острый угол при \(B\) и оба прямые. Коэффициент подобия равен \( \frac{OK}{AC}=\frac{r}{5}=\frac{OB}{AB}=\frac{OB}{13} \). Следовательно, \( \frac{r}{5}=\frac{OB}{13} \), откуда \(OB=\frac{13r}{5}\).

3) На отрезке гипотенузы имеем разбиение \(AB=AO+OB\). Поскольку \(A\) лежит на окружности, \(AO=r\). Подставляя \(AB=13\) и найденное \(OB=\frac{13r}{5}\), получаем уравнение \(13=r+\frac{13r}{5}\). Приведём к общему знаменателю: \(13=\frac{5r+13r}{5}=\frac{18r}{5}\). Отсюда \(18r=65\) и \(r=\frac{65}{18}\) см. Для согласования с найденной ранее длиной гипотенузы можно также записать в виде сравнения отрезков на \(AB\): \(AO=r\) и \(OB=13-r\). Тогда из подобия \( \frac{r}{5}=\frac{13-r}{13} \) получаем \(13r=65-5r\), то есть \(18r=65\), откуда вновь \(r=\frac{65}{18}\) см.

Ответ: \(r=\frac{65}{18}\) см.