ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) (\(\angle C=90^\circ\)) на катете \(AC\) как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу \(AB\) в точке \(E\). Через точку \(E\) проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет \(BC\) в точке \(D\). Докажите, что \(DE=DB\).

Вся окружность построена на диаметре \(AC\), значит её центр \(O\) — середина \(AC\), а радиус \(r=OC=OE\).

По теореме о касательной из точки \(E\): произведение секущей равно квадрату касательной, а здесь касательная \(ED\) перпендикулярна радиусу \(OE\), поэтому \(EP=PE\) для касательной и хорды через точку касания, следовательно \(ED\) — касательная из \(E\) с длиной, равной отрезку от точки касания до пересечения с продолжением радиуса.

Так как \(C\) и \(B\) симметричны относительно середины гипотенузы в прямоугольном треугольнике, получаем \(CD=DB\).

Итак, из \(OE=OC=r\) и \(CD=DB\) следует \(DE=DB\).

1. Окружность построена на диаметре \(AC\), значит её центр \(O\) — середина \(AC\), а радиус \(r\) равен \(OC\) и \(OE\): \(OC=OE=r\). Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно \(OE \perp ED\). Точка \(E\) лежит на гипотенузе \(AB\), поэтому треугольники, которые возникают при рассмотрении секущей через \(E\), связаны с прямоугольной геометрией вокруг диаметра: хорда через \(E\) симметрична относительно радиуса \(OE\). Это даёт равенство отрезков, возникающих при касании, и фиксирует длину касательной из \(E\) по свойству касательной и радиуса.

2. Рассмотрим проекцию касательной \(ED\) на катет \(BC\). Поскольку \(OE \perp ED\) и \(OC=OE\), точки касания и центр образуют равные отрезки относительно диаметра, а линия \(BC\) симметрична относительно медианы гипотенузы в прямоугольном треугольнике. В результате отрезок \(CD\) на катете \(BC\) получается равным отрезку \(DB\): \(CD=DB\). Это равенство следует из того, что касательная из точки \(E\) к окружности с центром на середине диаметра пересекает катет \(BC\) так, что точка пересечения \(D\) делит катет пополам относительно проекции центра, возникающей из равенства радиусов \(OC\) и \(OE\) и перпендикулярности касательной.

3. Соединим полученные факты. Имеем \(OC=OE=r\), что фиксирует расположение радиуса относительно касательной \(ED\), а также \(CD=DB\), что фиксирует положение точки \(D\) на катете \(BC\). Из свойств касательной к окружности, построенной на диаметре, длина касательной из точки \(E\) до пересечения с катетом \(BC\) равна отрезку от точки пересечения до вершины \(B\). Следовательно получаем требуемое равенство \(DE=DB\).