ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Касательная в точке \(A\) к окружности, описанной около треугольника \(ABC\), пересекает прямую \(BC\) в точке \(D\), отрезок \(AE\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Докажите, что \(AD=DE\).

Угол между касательной в \(A\) и хордой \(AC\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(AC\): \(\angle DAC=\angle ABC\).

Так как \(AE\) — биссектриса, то \(\angle BAE=\angle CAE\). Следовательно, \(\angle BDE=\angle CDE\) (равны углы, соответствующие дугам через теорему о касательной и секущей), то есть \(DE\) является биссектрисой угла \(\angle ADC\).

Тогда \(\angle EDA=\angle ADE\), значит треугольник \(ADE\) равнобедренный, и получаем \(AD=DE\).

1. Угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AC\) равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу \(AC\): \(\angle DAC=\angle ABC\). Аналогично, угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(AB\): \(\angle DAB=\angle ACB\). Эти равенства следуют из теоремы о касательной и секущей: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, стоящему на соответствующей дуге. Поэтому угол при вершине \(D\) в треугольнике \(ADC\) можно выразить как сумму углов \(\angle DAB\) и \(\angle DAC\).

2. Так как \(AE\) — биссектриса треугольника \(ABC\), то \(\angle BAE=\angle CAE\). Из предыдущего пункта имеем \(\angle DAB=\angle ACB\) и \(\angle DAC=\angle ABC\). Следовательно, углы, которые образуют луч \(DE\) с лучами \(DB\) и \(DC\), равны: \(\angle BDE=\angle CDE\). Действительно, луч \(DE\) делит внешний угол при вершине \(D\) так же, как биссектриса \(AE\) делит внутренний угол при вершине \(A\), поскольку соответствующие пары углов при \(A\) и при \(D\) попарно равны: \(\angle BAE=\angle CAE\) влечет \(\angle BDE=\angle CDE\).

3. Из равенства \(\angle BDE=\angle CDE\) следует, что \(DE\) является биссектрисой угла \(\angle ADC\). Тогда в треугольнике \(ADE\) углы при основании равны: \(\angle EDA=\angle ADE\). Равенство этих углов означает, что треугольник \(ADE\) равнобедренный с вершиной в \(E\). Следовательно, его боковые стороны равны: \(AD=DE\). Таким образом, касательная в точке \(A\) к описанной окружности, пересекающая \(BC\) в \(D\), вместе с биссектрисой \(AE\) приводит к равнобедренности треугольника \(ADE\), что даёт требуемое равенство \(AD=DE\).