ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40 см, а высота, проведённая к основанию, — \(4\sqrt{91}\) см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

Высота к основанию: \(AH=4\sqrt{91}\), боковая сторона: \(AB=AC=40\). В прямоугольном треугольнике \(AB^2=AH^2+BH^2\), получаем \(BH=\sqrt{40^2-(4\sqrt{91})^2}=\sqrt{1600-1456}=12\), значит \(BC=24\).

По теореме о биссектрисе для углов при основании: точки пересечения делят боковые стороны в отношении \(5:3\), поэтому на отрезках \(AB\) и \(AC\) от вершины \(A\) откладываются равные части, симметричные относительно высоты. Их горизонтальные координаты равны \(\pm7.5\), вертикальные совпадают, следовательно расстояние между точками равно удвоенной горизонтальной проекции: \(MN=15\) см.

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с \(AB=AC=40\) и высотой \(AH=4\sqrt{91}\), опущенной на основание \(BC\). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой вершины \(A\), поэтому точка \(H\) — середина \(BC\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) по теореме Пифагора: \(AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\). Подставляя значения, получаем \(40^{2}=(4\sqrt{91})^{2}+BH^{2}\), то есть \(1600=16\cdot91+BH^{2}=1456+BH^{2}\), откуда \(BH^{2}=144\) и \(BH=12\). Поскольку \(H\) — середина основания, то \(BC=2\cdot BH=24\).

2) Пусть биссектриса угла \(B\) пересекает сторону \(AC\) в точке \(M\), а биссектриса угла \(C\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(N\). По теореме о биссектрисе для треугольника \(ABC\): \(\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{BC}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}\) и \(\frac{AN}{NB}=\frac{AC}{BC}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}\). Так как \(AM+MC=AC=40\) и \(\frac{AM}{MC}=\frac{5}{3}\), находим \(AM=\frac{5}{5+3}\cdot40=\frac{5}{8}\cdot40=25\), \(MC=\frac{3}{8}\cdot40=15\). Аналогично, \(AN=25\), \(NB=15\). Эти соотношения показывают, что точки \(M\) и \(N\) делят боковые стороны от вершины \(A\) в одинаковых отношениях, что согласуется с осевой симметрией треугольника относительно высоты \(AH\).

3) Введем декартову систему координат с началом в середине основания: \(B(-12,0)\), \(C(12,0)\), \(A(0,4\sqrt{91})\). Вектор \(\vec{AC}=(12,-4\sqrt{91})\), тогда точка \(M\), делящая \(AC\) в отношении \(AM:MC=5:3\) от \(A\), имеет координаты \(M=A+\frac{5}{8}\vec{AC}=(0,4\sqrt{91})+\frac{5}{8}(12,-4\sqrt{91})=(7.5,1.5\sqrt{91})\). Аналогично, \(\vec{AB}=(-12,-4\sqrt{91})\), и \(N=A+\frac{5}{8}\vec{AB}=(0,4\sqrt{91})+\frac{5}{8}(-12,-4\sqrt{91})=(-7.5,1.5\sqrt{91})\). Замечаем, что у точек \(M\) и \(N\) одинаковые ординаты и противоположные абсциссы, что отражает симметрию относительно оси \(AH\).

4) Расстояние между точками \(M\) и \(N\) вычисляется по формуле расстояния: \(MN=\sqrt{(x_{M}-x_{N})^{2}+(y_{M}-y_{N})^{2}}\). Подставляя координаты, получаем \(MN=\sqrt{(7.5-(-7.5))^{2}+(1.5\sqrt{91}-1.5\sqrt{91})^{2}}=\sqrt{15^{2}+0}=15\). Геометрически это равно удвоенной абсолютной величине абсциссы любой из точек, поскольку они лежат на одной горизонтали и симметричны относительно оси \(y\).

5) Итак, длина отрезка между точками пересечения биссектрис из оснований с противоположными боковыми сторонами определяется исключительно горизонтальной проекцией, что в данном равнобедренном треугольнике дает \(MN=15\) см. Равенство ординат обеспечивается тем, что обе точки делят соответствующие стороны в одном и том же отношении \(\frac{5}{3}\) от вершины \(A\), а противоположные знаки абсцисс обусловлены центральной симметрией относительно высоты. Ответ: \(15\) см.