ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 15 см, а высота, проведённая к боковой стороне, — 24 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть основание \(AC\), вершина \(B\). Высота к основанию: \(BH=15\), высота к боковой стороне \(BC\): \(BK=24\).

По равенству площадей: \(S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot BC\cdot BK\Rightarrow AC\cdot 15=BC\cdot 24\Rightarrow AC=\frac{8}{5}BC\).

Так как \(BH\) — медиана и высота в равнобедренном треугольнике, то \(AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{4}{5}BC\). Тогда по теореме Пифагора: \(BC^2=BH^2+HC^2=15^2+\left(\frac{4}{5}BC\right)^2\Rightarrow BC^2=225+\frac{16}{25}BC^2\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}BC^2=225\Rightarrow BC=25\).

Тогда \(AC=\frac{8}{5}\cdot 25=40\). Площадь: \(S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 40\cdot 15=300\ \text{см}^2\).

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием \(AC\) и вершиной \(B\). Высота к основанию равна \(BH=15\), высота к боковой стороне \(BC\) равна \(BK=24\). Площади, выраженные через разные высоты, совпадают: \(S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot BC\cdot BK\). Отсюда получаем равенство \(AC\cdot 15=BC\cdot 24\), следовательно \(AC=\frac{24}{15}BC=\frac{8}{5}BC\). Эта пропорция связывает длину основания с боковой стороной, что далее позволит использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой.

2) В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому \(AH=HC=\frac{AC}{2}\). С учетом найденного выражения для основания имеем \(HC=\frac{1}{2}\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{5}BC=\frac{4}{5}BC\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BHC\) с катетами \(BH=15\) и \(HC=\frac{4}{5}BC\) и гипотенузой \(BC\). По теореме Пифагора: \(BC^{2}=BH^{2}+HC^{2}=15^{2}+\left(\frac{4}{5}BC\right)^{2}\). Получаем \(BC^{2}=225+\frac{16}{25}BC^{2}\), перенесем слагаемые: \(BC^{2}-\frac{16}{25}BC^{2}=225\), то есть \(\frac{9}{25}BC^{2}=225\). Умножая на \(\frac{25}{9}\), находим \(BC^{2}=225\cdot \frac{25}{9}=25^{2}\), отсюда \(BC=25\).

3) Теперь вычислим основание: \(AC=\frac{8}{5}\cdot BC=\frac{8}{5}\cdot 25=40\). Площадь треугольника через высоту к основанию: \(S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 40\cdot 15=300\ \text{см}^{2}\). Таким образом, согласуя равенство площадей, свойства высоты-медианы в равнобедренном треугольнике и теорему Пифагора для треугольника \(BHC\), получаем искомую площадь \(S=300\ \text{см}^{2}\), что совпадает с решением на изображении.