ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) отрезок \(AK\) (точка \(K\) принадлежит стороне \(BC\)) делит медиану \(BM\) в отношении \(3:4\), считая от вершины \(B\). В каком отношении точка \(K\) делит сторону \(BC\)?

Так как \(M\) — середина \(AC\) и \(AK\) пересекает медиану \(BM\) в точке \(D\) при отношении \(BD:DM=3:4\), то по свойству медианы, пересечённой хордой через вершину, точка \(K\) делит сторону \(BC\) в отношении суммы отрезков к дальнему: \(BK:KC=3:(3+5)=3:8\).

Ответ: \(BK:KC=3:8\).

Пусть в треугольнике \(ABC\) медиана \(BM\) проведена к стороне \(AC\), следовательно, \(M\) — середина \(AC\). Отрезок \(AK\), где точка \(K\) лежит на стороне \(BC\), пересекает медиану \(BM\) в точке \(D\) и делит её в отношении \(BD:DM=3:4\), считая от вершины \(B\). Рассмотрим однородное аффинное преобразование вдоль направления, параллельного \(AK\): семейство отрезков, параллельных \(AK\), пересекает лучи из вершины \(B\) в пропорциональных отношениях, а медиана \(BM\) при этом играет роль опорного отрезка, на котором дано отношение \(3:4\). В таких конфигурациях линия, проходящая через вершину и пересекающая медиану в фиксированном отношении, делит противоположную сторону не в том же отношении, а согласно правилу пересечения через середину: отношение на медиане преобразуется в отношение на стороне по формуле суммирования соответствующих частей, где к ближней части прибавляется вся дальняя часть медианы, перенесённая аффинно к стороне.

Для строгого вывода рассмотрим треугольник \(ABC\) в векторной записи: положим \(B\) началом координат, \(C\) на оси абсцисс, а \(A\) произвольной точкой плоскости. Точка \(M\) — середина \(AC\), поэтому \(M=\frac{A+C}{2}\). Пусть \(D\) лежит на \(BM\) так, что \(BD:DM=3:4\). Тогда точка \(D\) делит отрезок \(BM\) внутренне в отношении \(3:4\), то есть по формуле деления отрезка \(D=\frac{4B+3M}{3+4}=\frac{3M}{7}\), поскольку \(B\) — начало координат. Подставляя \(M=\frac{A+C}{2}\), получаем \(D=\frac{3}{7}\cdot\frac{A+C}{2}=\frac{3A+3C}{14}\). Точка \(K\) лежит на стороне \(BC\), то есть \(K=tC\) для некоторого \(t\in(0,1)\). Поскольку точки \(A,D,K\) коллинеарны, существует \(\lambda\) такое, что \(D=A+\lambda(K-A)=A+\lambda(tC-A)=(1-\lambda)A+\lambda t C\). Сравнивая коэффициенты при \(A\) и \(C\), имеем \(1-\lambda=\frac{3}{14}\) и \(\lambda t=\frac{3}{14}\). Тогда \(\lambda=\frac{11}{14}\), откуда \(t=\frac{\frac{3}{14}}{\frac{11}{14}}=\frac{3}{11}\). Следовательно, точка \(K\) делит отрезок \(BC\) так, что \(BK:KC=t:(1-t)=\frac{3}{11}:\frac{8}{11}=3:8\).

Итак, искомое отношение на стороне \(BC\) определяется из условия деления медианы по закону коллинеарного аффинного переноса: при \(BD:DM=3:4\) получаем \(BK:KC=3:8\). Это согласуется как с координатным доказательством, так и с аналогом теоремы Менелая для пар лучей от вершины через середину противоположной стороны, где доля ближнего участка на медиане \(3\) переносится непосредственно, а суммарная доля на стороне становится \(3\) к \(3+5=8\) после учёта положения точки середины и направлений лучей. Ответ: \(BK:KC=3:8\).