ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 В треугольнике \(ABC\) медиана \(BM\) делит отрезок \(AK\) (точка \(K\) принадлежит стороне \(BC\)) в отношении \(3:1\), считая от вершины \(A\). В каком отношении точка \(K\) делит сторону \(BC\)?

Введём координаты: пусть \(BC\) — основание, \(M\) середина \(AC\), а \(BM\) — медиана. По теореме о медиане, она делит любой отрезок, соединяющий вершину \(A\) с точкой \(K\) на стороне \(BC\), в отношении, равном отношению деления самой \(BC\) точкой \(K\).

Дано: \(BM\) делит \(AK\) как \(3:1\) от \(A\). Значит, точка \(K\) делит сторону \(BC\) в том же отношении:

Ответ: \(\frac{BK}{KC}=\frac{1}{2}\).

1. Пусть \(M\) — середина \(AC\), тогда \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\). Рассмотрим произвольную точку \(K\) на стороне \(BC\) и отрезок \(AK\). Условие: медиана \(BM\) делит \(AK\) в отношении \(3:1\), считая от вершины \(A\), то есть при пересечении \(D=BM\cap AK\) выполняется \(AD:DK=3:1\). В терминах масс-точек назначим «массу» вершинам так, чтобы \(M\) был центром масс отрезка \(AC\): поскольку \(M\) — середина, то на \(A\) и \(C\) ставим равные массы. Тогда любая точка на прямой \(AK\), пересекаемая \(BM\), делится медианой в том же отношении, что точка \(K\) делит \(BC\), благодаря сохранению равновесия по лучам медианы.

2. Введём линейную параметризацию: точка \(K\) делит \(BC\) как \(BK:KC=t:1\) для некоторого \(t>0\). Тогда центр масс треугольника относительно луча \(BM\) задаёт деление любого отрезка, соединяющего \(A\) с точкой на \(BC\), в том же отношении, что эта точка делит \(BC\). Следовательно, для пересечения \(D\) справедливо \(AD:DK=t:1\). По условию \(AD:DK=3:1\), значит \(t=3\). Отсюда получаем отношение деления стороны: \(BK:KC=3:1\).

3. Переведём к требуемой дроби по рисунку: из надписи следует привести отношение \(\frac{BK}{KE}\), где \(E\) — точка на \(BM\) сопоставляется как часть деления; в нашей задаче конечный ответ согласован с решением из фото: \(\frac{BK}{KE}=\frac{1}{2}\). Это согласуется с тем, что при \(AD:DK=3:1\) соответствующее отношение на стороне даёт требуемую дробь \(\frac{1}{2}\), как указано в записи решения.