ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM:MB=4:3\). В каком отношении медиана \(BK\) треугольника \(ABC\) делит отрезок \(CM\)?

Пусть \(K\) — середина \(AC\), а \(BK\) — медиана. Возьмём координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,1)\), \(C(1,0)\). Тогда \(K\left(\frac{1}{2},0\right)\). На \(AB\) точка \(M\) так, что \(AM:MB=4:3\), значит \(M\) делит \(AB\) в отношении \(4:3\) от \(A\) к \(B\): \(M\left(0,\frac{4}{7}\right)\).

Рассмотрим отрезок \(CM\): параметризация \(C(1,0)\) \(\to\) \(M(0,\frac{4}{7})\): \((x,y)=(1-t, \frac{4}{7}t)\). Прямая медиана \(BK\): уравнение через точки \(B(0,1)\) и \(K(\frac{1}{2},0)\): \(y=1-2x\). Находим точку пересечения \(D\): из \(\frac{4}{7}t=1-2(1-t)\Rightarrow \frac{4}{7}t=2t-1\Rightarrow \left(2-\frac{4}{7}\right)t=1\Rightarrow \frac{10}{7}t=1\Rightarrow t=\frac{7}{10}\).

Следовательно, \(D\) делит \(CM\) в отношении \(CD:DM=t:(1-t)=\frac{7}{10}:\frac{3}{10}=7:3\).

1. Пусть \(A(0,0)\), \(B(0,1)\), \(C(1,0)\). Тогда медиана из \(B\) идёт в середину \(AC\), то есть \(K\left(\frac{1}{2},0\right)\). На отрезке \(AB\) точка \(M\) задана условием \(AM:MB=4:3\), значит она делит \(AB\) внутренне в отношении \(4:3\) от \(A\) к \(B\). По формуле деления отрезка в данном простом вертикальном расположении получаем координату \(y\) точки \(M\): \(y_{M}=\frac{4}{7}\), следовательно \(M\left(0,\frac{4}{7}\right)\). Уравнение прямой \(BK\) через точки \(B(0,1)\) и \(K\left(\frac{1}{2},0\right)\) находим по угловому коэффициенту: \(k=\frac{0-1}{\frac{1}{2}-0}=-2\), значит прямая имеет вид \(y=1-2x\).

2. Параметризуем отрезок \(CM\) линейно: точка общего положения \(P(t)\) на \(CM\) выражается как \(P(t)=(1-t,\,\frac{4}{7}t)\), где \(t\in[0,1]\); при \(t=0\) имеем \(C(1,0)\), при \(t=1\) имеем \(M\left(0,\frac{4}{7}\right)\). Ищем пересечение \(D\) медианы \(BK\) с \(CM\), то есть такое \(t\), что координаты \(P(t)\) удовлетворяют уравнению \(y=1-2x\). Подставим: \(\frac{4}{7}t=1-2(1-t)=1-2+2t=-1+2t\). Перенесём члены в левую часть: \((2-\frac{4}{7})t=1\). Преобразуем коэффициент: \(2-\frac{4}{7}=\frac{14}{7}-\frac{4}{7}=\frac{10}{7}\). Следовательно, \(\frac{10}{7}t=1\), откуда \(t=\frac{7}{10}\). Это означает, что точка \(D\) делит отрезок \(CM\) так, что доля от \(C\) до \(D\) равна \(\frac{7}{10}\) всей длины \(CM\), а от \(D\) до \(M\) равна \(\frac{3}{10}\).

3. Отношение деления точки на параметризованном отрезке переводится в отношение длин частей: \(CD:DM=t:(1-t)\). Подставляя найденное значение \(t=\frac{7}{10}\), получаем \(CD:DM=\frac{7}{10}:\frac{3}{10}\). Сократим общий множитель \(\frac{1}{10}\) и придём к целочисленному отношению \(CD:DM=7:3\). Таким образом, медиана \(BK\) треугольника \(ABC\) делит отрезок \(CM\) в отношении \(7:3\), что согласуется с исходным разбиением \(AB\) точкой \(M\) по отношению \(4:3\) и подтверждается вычислением через координаты и пересечение прямых.