ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) отрезок \(BK\) — высота, \(BK=26\) см, отрезок \(AM\) — биссектриса, \(AB:AC=6:7\). Из точки \(M\) опущен перпендикуляр \(MD\) на сторону \(AC\). Найдите отрезок \(MD\).

По свойству биссектрисы: \(BM:MC=AB:AC=6:7\).

Треугольники \(MBK\) и \(MDC\) подобны по острому углу при \(M\) и прямому углу, отсюда \( \frac{BK}{MD}=\frac{BC}{MC}=1+\frac{BM}{MC}=1+\frac{6}{7}=\frac{13}{7} \).

Тогда \( \frac{26}{MD}=\frac{13}{7} \Rightarrow MD=26\cdot\frac{7}{13}=14 \text{ см} \).

По свойству биссектрисы точка \(M\) на стороне \(BC\) делит её в отношении прилежащих сторон: \(BM:MC=AB:AC=6:7\). Это означает, что если обозначить \(BM=6x\) и \(MC=7x\), то вся сторона \(BC=BM+MC=13x\). Нам это понадобится для выражения отношения отрезков на \(BC\) через доли всей стороны и дальнейшего перехода к коэффициенту подобия между прямоугольными треугольниками, построенными из точки \(M\) на перпендикулярах к сторонам \(AB\) и \(AC\).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: \(MBK\) и \(MDC\). В треугольнике \(MBK\) высота \(BK\) опущена к стороне \(AB\), поэтому \(\angle BKM=90^\circ\); в треугольнике \(MDC\) перпендикуляр \(MD\) опущен к стороне \(AC\), поэтому \(\angle MDC=90^\circ\). Кроме того, лучи \(MB\) и \(MC\) образуют общий угол при вершине \(M\), и эти треугольники имеют по острым углам при \(M\), лежащим между соответствующими парами лучей \((MB, MK)\) и \((MC, MD)\). Следовательно, треугольники \(MBK\) и \(MDC\) подобны по равенству одного острого угла при \(M\) и прямых углов. Из подобия следует пропорция соответствующих катетов: \(\frac{BK}{MD}=\frac{BC}{MC}\), где в правой дроби использовано соответствие длин вдоль стороны \(BC\), так как отрезок \(MC\) относится к целой стороне \(BC\) как часть к целому, согласованная с тем же угловым раскрытием при \(M\).

Выражаем правую часть через отношение, полученное из свойства биссектрисы: \(\frac{BC}{MC}=\frac{BM+MC}{MC}=1+\frac{BM}{MC}=1+\frac{6}{7}=\frac{13}{7}\). Подставляя известную высоту \(BK=26\), получаем \(\frac{26}{MD}=\frac{13}{7}\). Отсюда \(MD=26\cdot\frac{7}{13}=14\), так как сокращение на \(13\) даёт \(2\cdot 7\). Следовательно, искомая длина перпендикуляра равна \(14\) см.