ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) — основание биссектрисы, проведённой из вершины \(C\), \(\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}=\frac{1}{CD}\). Докажите, что \(\angle ACB=120^\circ\).

Введём обозначения: \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=CD\). По условию \( \frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}\), то есть \( \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Rightarrow c=\frac{ab}{a+b}\).

Для биссектрисы из \(C\) верна формула длины: \(CD^{2}=AC\cdot BC\left(1-\frac{AB^{2}}{(AC+BC)^{2}}\right)\). Подставляя \(c=\frac{ab}{a+b}\), получаем \( \left(\frac{ab}{a+b}\right)^{2}=ab\left(1-\frac{AB^{2}}{(a+b)^{2}}\right)\Rightarrow \frac{ab}{(a+b)^{2}}=1-\frac{AB^{2}}{(a+b)^{2}}\Rightarrow AB^{2}=(a+b)^{2}-ab\).

По теореме косинусов в \(\triangle ABC\): \(AB^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\angle ACB\). Приравнивая, имеем \(a^{2}+b^{2}-2ab\cos\angle ACB=(a+b)^{2}-ab=a^{2}+b^{2}+2ab-ab\). Следовательно, \(-2ab\cos\angle ACB=ab\Rightarrow \cos\angle ACB=-\frac{1}{2}\).

Отсюда \(\angle ACB=120^\circ\).

1. Пусть \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=CD\). Из условия \( \frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}=\frac{1}{CD}\) получаем \( \frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}\), то есть \( \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\). Отсюда следует выражение для длины биссектрисы: \(c=\frac{ab}{a+b}\). Это ключевая связь: длина \(CD\) равна гармоническому среднему отрезков \(AC\) и \(BC\). Такая форма удобна для подстановки в формулу длины биссектрисы, поскольку в ней фигурирует именно \(AC+BC\).

2. Формула длины внутренней биссектрисы из вершины \(C\) в треугольнике \(ABC\) имеет вид \(CD^{2}=AC\cdot BC\left(1-\frac{AB^{2}}{(AC+BC)^{2}}\right)\). Подставим обозначения и найденное \(c\): получаем \( \left(\frac{ab}{a+b}\right)^{2}=ab\left(1-\frac{AB^{2}}{(a+b)^{2}}\right)\). Перенесём всё к общему знаменателю \((a+b)^{2}\): из равенства следует \( \frac{a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}}=ab-\frac{ab\cdot AB^{2}}{(a+b)^{2}}\). Разделим обе части на \(ab\) (так как \(a>0\) и \(b>0\)): \( \frac{ab}{(a+b)^{2}}=1-\frac{AB^{2}}{(a+b)^{2}}\). После этого выразим \(AB^{2}\): \( \frac{AB^{2}}{(a+b)^{2}}=1-\frac{ab}{(a+b)^{2}}\Rightarrow AB^{2}=(a+b)^{2}-ab\). Заметим, что это точное выражение для стороны \(AB\) через \(a\) и \(b\), вытекающее из комбинации условия задачи с формулой биссектрисы.

3. Применим теорему косинусов в \(\triangle ABC\) для угла при вершине \(C\): \(AB^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\angle ACB\). Приравняем выражения для \(AB^{2}\): \(a^{2}+b^{2}-2ab\cos\angle ACB=(a+b)^{2}-ab=a^{2}+b^{2}+2ab-ab\). Сократим одинаковые члены \(a^{2}+b^{2}\) и получим линейное уравнение на косинус: \(-2ab\cos\angle ACB=ab\). Разделим на \(ab\) (ненулевые величины) и получим \(\cos\angle ACB=-\frac{1}{2}\). Отсюда немедленно следует численное значение угла: \(\angle ACB=120^\circ\), поскольку именно при \(120^\circ\) косинус равен \(-\frac{1}{2}\). Это согласуется с геометрическим смыслом: условие гармонического среднего для \(CD\) делает треугольник таким, что биссектриса из \(C\) имеет длину, совместимую только с тупым углом \(120^\circ\).