ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника \(ABC\), изображённого на рисунке 22.1.

Вычислим: по рисунку \(DC=BC=\sqrt{2}\).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(BDC\): \(BD^{2}=DC^{2}+BC^{2}=2+2=4\Rightarrow BD=2\). Тогда \(AD=2\) и \(AC=AD+DC=2+\sqrt{2}\).

Площадь треугольника \(ABC\): \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=\sqrt{2}+1\)\ (\text{см}^2\).

1. По рисунку видно, что отрезки \(DC\) и \(BC\) равны между собой и отмечены как единичные с длиной \(\sqrt{2}\). Это означает, что нижняя горизонтальная часть у основания треугольника содержит точку \(D\), от которой до точки \(C\) отложен отрезок длины \(\sqrt{2}\), а вертикальный катет при вершине \(B\) также равен \(\sqrt{2}\). Следовательно, фиксируем равенства \(DC=\sqrt{2}\) и \(BC=\sqrt{2}\). Эти данные нужны для применения теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике \(BDC\), где угол при \(D\) является прямым, поэтому гипотенуза \(BD\) будет вычисляться через катеты \(DC\) и \(BC\).

2. Применяем теорему Пифагора к треугольнику \(BDC\): \(BD^{2}=DC^{2}+BC^{2}\). Подставляем равные катеты: \(BD^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=2+2=4\). Отсюда получаем \(BD=\sqrt{4}=2\). На схеме база от точки \(A\) до точки \(D\) обозначена той же длиной, что и \(BD\), принимаем \(AD=2\). Тогда весь нижний отрезок от \(A\) до \(C\) составляется из суммы \(AD\) и \(DC\): \(AC=AD+DC=2+\sqrt{2}\). Таким образом, мы точно знаем длину основания \(AC\) и длину вертикального катета \(BC\), которые будут использованы как стороны, образующие прямой угол при вычислении площади.

3. Площадь треугольника \(ABC\) вычисляем через половину произведения двух перпендикулярных сторон: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\). Подставляем найденные значения: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot(2+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}\). Раскрываем произведение: \((2+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}+(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=2\sqrt{2}+2\). Делим пополам: \(S_{ABC}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=\sqrt{2}+1\). Итоговая площадь совпадает с результатом на рисунке: \(S_{ABC}=\sqrt{2}+1\) \(\text{см}^2\).