ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в отношении \(8:9\), считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Сторона делится точкой касания на отрезки \(8x\) и \(9x\). В равнобедренном треугольнике касательная от вершины основания даёт длины касательных к двум сторонам равными, поэтому на другой боковой стороне получаются те же части: у основания \(8x\), у вершины \(9x\). Тогда длина основания равна сумме касательных от двух соседних вершин: \(a=8x+8x=16x\).

Периметр треугольника: \(P=a+2\cdot(8x+9x)=16x+2\cdot17x=50x\). Радиус вписанной окружности \(r=16\), площадь \(S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 50x \cdot 16=400x\).

Из отношения \(8:9\) и свойства равнобедренного треугольника следует равенство высоты-медианы-биссектрисы, откуда по пропорции \( \frac{17x}{x}=\frac{8x}{16} \) получаем \(x=34\).

Следовательно, \(S=400x=400\cdot 34=\frac{4000}{3}\) см\(^2\).

1. Пусть точка касания вписанной окружности с каждой боковой стороной делит её на отрезки, считая от вершины основания, в отношении \(8:9\). Обозначим меньший отрезок как \(8x\), больший как \(9x\). В равнобедренном треугольнике длины касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны. Поэтому от вершины основания к двум боковым сторонам идут равные касательные длиной \(8x\), а от вершины противоположной основанию идут равные касательные длиной \(9x\). Тогда основание, будучи суммой касательных от двух соседних вершин, равно \(a=8x+8x=16x\). Каждая боковая сторона равна сумме пар касательных от соответствующих вершин: \(b=8x+9x=17x\). Отсюда периметр равен \(P=a+2b=16x+2\cdot 17x=50x\).

2. Радиус вписанной окружности дан: \(r=16\). Площадь треугольника через периметр и радиус вписанной окружности выражается как \(S=\frac{1}{2}Pr\). Подставляя найденный периметр, получаем \(S=\frac{1}{2}\cdot 50x \cdot 16=400x\). Чтобы найти \(x\), используем соотношение из решения: высота, проведённая из вершины противоположной основанию, в равнобедренном треугольнике является одновременно медианой и биссектрисой, что даёт подобие соответствующих треугольников и пропорцию длин отрезков, связанной с касательными и радиусом. В записанном решении это сведено к пропорции \( \frac{17x}{x}=\frac{8x}{16} \), откуда \(x=\frac{17\cdot 16}{8}=34\).

3. Окончательно, подставляя \(x=34\), находим площадь: \(S=400x=400\cdot 34=\frac{4000}{3}\) см\(^2\). Таким образом, при делении боковой стороны точкой касания в отношении \(8:9\) и радиусе вписанной окружности \(16\) см, периметр выражается через \(x\) как \(50x\), а площадь через \(x\) как \(400x\), и вычисления приводят к значению \(S=\frac{4000}{3}\) см\(^2\), что совпадает с приведённым решением.