ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(M\). Окружности, вписанные в треугольники \(ABM\) и \(MBC\), касаются. Докажите, что \(AB+MC=AM+BC\).

Дано: на стороне \(AC\) выбрана точка \(M\). Вписанные окружности в \( \triangle ABM\) и \( \triangle MBC\) касаются в точке на отрезке, общем для касательных.

Обозначим точки касания их с \(AB\) и \(BC\) соответственно через \(N\) и \(V\), а с \(AM\), \(MC\) через \(D\) и \(U\). Тогда из свойства касательных от одной точки: \(MN=NB\) и \(MV=VB\); \(AD=DM\); \(MU=UC\).

Суммируем разложение сторон через касательные: \(AB=AN+NB=AD+DM+MN+NB\) и \(BC=BV+VC=BV+MV+MU+UC\).

Тогда \(AB+MC=(AD+DM+MN+NB)+(MU+UC)=(AD+DM)+\)
\(+(BV+MV)+MU+UC\).

Поскольку окружности касаются, отрезки касательных из точки касания равны, следовательно \(MN=BV\) и \(NB=MV\). Получаем \(AB+MC=AD+DM+BV+MV+MU+UC=AM+BC\).

1. Пусть на стороне \(AC\) дана точка \(M\). Рассмотрим вписанные окружности треугольников \(ABM\) и \(MBC\); по условию они касаются друг друга. Обозначим точки касания первой окружности со сторонами \(AB\) и \(AM\) как \(N\) и \(D\) соответственно, а второй окружности со сторонами \(BC\) и \(MC\) как \(V\) и \(U\). Для каждой пары касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, справедливо равенство длин соответствующих отрезков касательных. Поэтому из точки \(B\) к первой окружности получаем \(BN=BM\) на её касательных, но нам здесь важнее стандартные равенства на общей стороне: для первой окружности \(MN=NB\) на прямой \(AB\), а для второй окружности \(MV=VB\) на прямой \(BC\). Аналогично для вершин на лучах \(AM\) и \(MC\): для первой окружности из точки \(A\) имеем \(AD=DM\), а для второй окружности из точки \(C\) имеем \(MU=UC\). Эти четыре равенства являются следствием единственного факта: две касательные к одной окружности, проведённые из одной точки, равны по длине.

2. Разложим длины сторон через суммы касательных отрезков. Для стороны \(AB\) имеем представление \(AB=AN+NB\). Подставим \(AN=AD+DN\) и вставим точку \(M\) между \(D\) и \(N\): \(DN=DM+MN\). Тогда получается \(AB=AD+DM+MN+NB\). Аналогично распишем сторону \(BC\). С учётом разбиения точки касания \(V\) и промежуточной точки \(M\) имеем \(BC=BV+VC\), а \(VC=VM+MC\). При этом \(MC=MU+UC\). Отсюда \(BC=BV+VM+MU+UC\). Сторона \(AM\) элементарно выражается как \(AM=AD+DM\), а отрезок \(MC\) как \(MC=MU+UC\). Таким образом, сумма левой части требуемого равенства даёт \(AB+MC=(AD+DM+MN+NB)+(MU+UC)\).

3. Переходим к использованию факта о касании двух окружностей. Их касательная в точке контакта общая, а отрезки касательных, отсекаемые на сторонах, соответствуют попарно: дуга, «подпирающая» куски \(MN\) и \(BV\), симметрична относительно точки касания окружностей, поэтому по свойству касательных к двум касающимся окружностям имеем соответствие длин \(MN=BV\) и \(NB=MV\). Подставляя эти равенства в разложенную сумму, получаем \(AB+MC=AD+DM+BV+MV+MU+UC\). Группируя слагаемые, замечаем, что \(AD+DM=AM\), а \(BV+MV+MU+UC=BC\). Следовательно, итоговое равенство принимает вид \(AB+MC=AM+BC\), что и требовалось доказать.