ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Из вершины наибольшего угла (против стороны 18 см) опускаем биссектрису \(BK\) к стороне \(AC=18\). По теореме о биссектрисе: \( \frac{AB}{AK}=\frac{BC}{KC} \), откуда при \(AB=12\), \(BC=15\), \(AK=x\), \(KC=18-x\) получаем \( \frac{12}{x}=\frac{15}{18-x}\). Решая, имеем \(15x=216-12x\), \(27x=216\), \(x=8\), следовательно \(AK=8\), \(KC=10\).

По формуле для длины биссектрисы: \(BK^{2}=AB\cdot BC-AK\cdot KC\). Подставляя, \(BK^{2}=12\cdot 15-8\cdot 10=180-80=100\), значит \(BK=10\ \text{см}\)

1. Рассматриваем треугольник со сторонами 12 см, 15 см и 18 см. Наибольшая сторона 18 см лежит напротив наибольшего угла, поэтому биссектрису проводим из этой вершины к стороне длиной 18 см. Пусть точка пересечения биссектрисы с этой стороной — \(K\), а отрезки \(AK\) и \(KC\) разделяют сторону \(AC\) так, что \(AK=x\) и \(KC=18-x\). По теореме о биссектрисе отношение прилежащих сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону: \( \frac{AB}{AK}=\frac{BC}{KC} \). Подставляя длины \(AB=12\), \(BC=15\), получаем уравнение \( \frac{12}{x}=\frac{15}{18-x} \). Перемножая крест-накрест, имеем \(12(18-x)=15x\), то есть \(216-12x=15x\). Перенося члены, получаем \(27x=216\) и отсюда \(x=8\). Следовательно, \(AK=8\) см, а \(KC=18-8=10\) см.

2. Для нахождения длины биссектрисы \(BK\) используем форму Стефана (формулу для длины биссектрисы, выраженную через произведения сторон и отрезков деления противоположной стороны): \(BK^{2}=AB\cdot BC-AK\cdot KC\). Эта запись выводится из равенства площадей двух треугольников, на которые биссектриса делит исходный треугольник, и применения теоремы косинусов к каждому из них, после чего при сложении выражений сокращаются члены с косинусом общего угла, остаётся разность произведений. Подставляя известные значения \(AB=12\), \(BC=15\), \(AK=8\), \(KC=10\), получаем \(BK^{2}=12\cdot 15-8\cdot 10=180-80=100\).

3. Из результата \(BK^{2}=100\) следует \(BK=\sqrt{100}=10\) см. Это означает, что биссектриса из вершины наибольшего угла делит сторону 18 см на отрезки 8 см и 10 см, причём её собственная длина равна 10 см. Проверка согласуется с пропорцией теоремы о биссектрисе, так как \(\frac{AB}{BC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\), а \(\frac{AK}{KC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\), что подтверждает корректность найденного разбиения и вычисленной длины \(BK=10\) см.