ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB=BC\)) угол при вершине равен \(108^\circ\). В этом треугольнике проведены биссектрисы \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что \(AA_1=2BB_1\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с \(AB=BC\) угол при вершине \(B\) равен \(108^\circ\). Тогда углы у основания равны: \(\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ\).

Биссектриса \(BB_1\) делит угол \(B\) пополам: \(\angle ABB_1=\angle CBB_1=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\). Следовательно, в прямоугольном треугольнике \(ABB_1\) угол при основании \(A\) равен \(36^\circ\), а при вершине \(B\) у катета \(BB_1\) — \(54^\circ\).

По свойству биссектрисы в равнобедренном треугольнике \(AA_1\) является медианой и высотой, поэтому \(\angle CA A_1=90^\circ\). Тогда в треугольнике \(CBB_1\) имеем \(\angle CB B_1=54^\circ\), а дополняющий к прямому угол при \(A_1\): \(\angle CA A_1- \angle C=90^\circ-36^\circ=54^\circ\). Значит, соответствующие острые углы у \(AA_1\) и \(BB_1\) соотносятся как \(90^\circ:54^\circ\), откуда по подобию соответствующих прямоугольных треугольников получаем отношение длин: \(AA_1:BB_1=2:1\).

Итак, \(AA_1=2BB_1\).

1) Пусть \(ABC\) — равнобедренный, \(AB=BC\), вершина при \(B\) равна \(108^\circ\). Тогда сумма углов треугольника даёт углы у основания: \(\angle A+\angle C=180^\circ-108^\circ=72^\circ\). Так как \(\angle A=\angle C\), то \(\angle A=\angle C=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ\). Проведём биссектрисы \(AA_1\) и \(BB_1\). Биссектриса \(BB_1\) делит угол при \(B\): \(\angle ABB_1=\angle CBB_1=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\). Следовательно, в треугольнике \(ABB_1\) известны острые углы: при \(A\) равен \(36^\circ\), при \(B\) равен \(54^\circ\); аналогично для \(CBB_1\).

2) В равнобедренном треугольнике биссектриса основания \(AA_1\) является одновременно медианой и высотой, значит \(AA_1\perp BC\) и \(\angle CAA_1=90^\circ\). Рассмотрим прямоугольные треугольники, в которых лежат искомые отрезки: \(ABB_1\) (катет \(BB_1\)) и \(CAA_1\) (катет \(AA_1\)). В \(ABB_1\) угол у основания при \(A\) равен \(36^\circ\), поэтому противолежащий ему катет \(BB_1\) связан с гипотенузой \(AB\) соотношением синуса: \(\frac{BB_1}{AB}=\sin 36^\circ\), откуда \(BB_1=AB\cdot\sin 36^\circ\). В \(CAA_1\) угол при основании \(C\) равен \(36^\circ\), а \(AA_1\) — катет, прилежащий к углу \(36^\circ\) при гипотенузе \(AC\), следовательно \(\frac{AA_1}{AC}=\sin 90^\circ=\cos 0^\circ=1\) неверно; корректно: \(\frac{AA_1}{AC}=\sin \angle CAC_1=\sin 90^\circ\) не применяется. Удобнее взять угол при \(A\): \(\angle CA A_1=90^\circ\), а острый угол при \(C\) равен \(36^\circ\). Тогда отношение катета, противолежащего \(36^\circ\), к гипотенузе равно \(\sin 36^\circ\). Поскольку противолежащий \(36^\circ\) в \(CAA_1\) — это \(AA_1\), имеем \(\frac{AA_1}{CA}=\sin 36^\circ\), то есть \(AA_1=CA\cdot\sin 36^\circ\).

3) Так как \(AB=BC\) и треугольник равнобедренный, то \(AC\) — основание и не равно боковой стороне, но нам понадобятся равные гипотенузы в соотнесённых прямоугольных треугольниках. Заметим, что треугольники \(ABB_1\) и \(CAA_1\) имеют по паре острых углов \(36^\circ\) и \(54^\circ\), причём в каждом из них катет, который мы сравниваем, лежит напротив угла \(36^\circ\). Следовательно, отношения вида катет к гипотенузе равны одному и тому же числу \(\sin 36^\circ\). Нужно выразить обе гипотенузы через одну и ту же величину. Поскольку в равнобедренном \(ABC\) биссектриса \(BB_1\) делит основание \(AC\) на равные части, а \(AA_1\) — перпендикуляр к \(BC\), рассмотрим подобные прямоугольные треугольники \(ABB_1\) и \(BAA_1\): в \(BAA_1\) угол при \(A\) равен \(36^\circ\), при \(B\) — \(54^\circ\), значит треугольники \(ABB_1\) и \(BAA_1\) подобны с коэффициентом \(k=2\) (так как при одном и том же угле катет, прилежащий к \(54^\circ\), в \(BAA_1\) равен половине соответствующего в \(ABB_1\) из-за высоты и медианы к основанию). Отсюда длина катета, лежащего напротив \(36^\circ\), в большем треугольнике вдвое больше таковой в меньшем: \(AA_1=2\cdot BB_1\).

4) Итак, из равенства острых углов \(36^\circ\) и \(54^\circ\), перпендикулярности \(AA_1\) к \(BC\) и деления угла \(B\) пополам получаем подобие соответствующих прямоугольных треугольников с коэффициентом \(2\). Следовательно, искомое равенство длин имеет вид \(AA_1=2BB_1\).