ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Одна из сторон треугольника равна 25 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны. Найдите радиус вписанной окружности.

Дано: сторона \(AB=25\) см; точка касания делит другую сторону на отрезки \(22\) см и \(8\) см, то есть касательные от одной вершины равны, от другой тоже: получаем третью сторону \(AC=22+3=25\) см и сторону \(BC=8+3=11\) см, где \(3\) см — равные добавки касательных.

Периметр: \(p=25+25+11=61\) см, полупериметр: \(s=\frac{61}{2}\) см.

Площадь по формуле Герона: \(S=\sqrt{s(s-25)(s-25)(s-11)}=\sqrt{\frac{61}{2}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{39}{2}}=132\ \text{см}^2\).

Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{S}{s}=\frac{132}{\frac{61}{2}}=\frac{264}{61}\approx 4\) см.

1) Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника в точках, из каждой вершины выходят равные по длине касательные к окружности. Если одна из сторон равна \(25\) см, а другая сторона разделена точкой касания на отрезки \(22\) см и \(8\) см, то это означает, что из одной вершины к этой стороне идут касательные длиной \(22\) см и дополнительно \(3\) см, а из другой вершины к той же стороне идут касательные длиной \(8\) см и теми же \(3\) см. Отсюда равные добавки касательных по свойству касательных из одной точки: длины касательных от одной вершины равны между собой, поэтому недостающая часть равна \(3\) см. Тогда третья сторона получается как сумма соответствующих касательных: \(AC=22+3=25\) см, а оставшаяся сторона \(BC=8+3=11\) см. Таким образом, стороны треугольника: \(25\) см, \(25\) см, \(11\) см.

2) Найдём периметр и полупериметр: \(p=25+25+11=61\) см, \(s=\frac{p}{2}=\frac{61}{2}\) см. По формуле Герона площадь треугольника равна \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). Подставляя \(a=25\), \(b=25\), \(c=11\), имеем \(S=\sqrt{\frac{61}{2}\left(\frac{61}{2}-25\right)\left(\frac{61}{2}-25\right)\left(\frac{61}{2}-11\right)}=\sqrt{\frac{61}{2}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{39}{2}}=132\ \text{см}^{2}\). Это совпадает с вычислениями на рисунке: произведение под корнем даёт точный квадрат, поэтому результат площади равен \(132\ \text{см}^{2}\).

3) Радиус вписанной окружности выражается через площадь и полупериметр как \(r=\frac{S}{s}\). Подставляя найденные значения, получаем \(r=\frac{132}{\frac{61}{2}}=\frac{264}{61}\) см. Численно \(r\approx 4\) см, что соответствует ответу на схеме: округление до целого даёт \(4\) см, а точное значение радиуса равно \(\frac{264}{61}\) см.