ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен \(\frac{1}{3}\) одной из его высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника \(a,b,c\), а его полупериметр \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Радиус вписанной окружности \(r=\frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь. По условию \(r=\frac{1}{3}h_b\), где \(h_b\) — высота к стороне \(b\).

Площадь \(S=\frac{1}{2}b\,h_b\), поэтому \(r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}b\,h_b}{p}=\frac{b\,h_b}{2p}\). Из условия \(r=\frac{1}{3}h_b\) получаем \(\frac{b\,h_b}{2p}=\frac{1}{3}h_b\), откуда \( \frac{b}{2p}=\frac{1}{3}\) и \(3b=2p\).

Так как \(2p=a+b+c\), имеем \(3b=a+b+c\), то есть \(2b=a+c\). Следовательно, средняя сторона равна полусумме крайних: \(b=\frac{a+c}{2}\). Значит, длины сторон \(a,b,c\) образуют арифметическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника равны \(a,b,c\), а полупериметр равен \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Обозначим радиус вписанной окружности через \(r\) и высоту, опущенную на сторону \(b\), через \(h_b\). По условию задачи дано соотношение \(r=\frac{1}{3}h_b\). Вспомним, что площадь треугольника через выбранную сторону и соответствующую высоту равна \(S=\frac{1}{2}b\,h_b\), а также что радиус вписанной окружности выражается как \(r=\frac{S}{p}\). Эти две формулы связывают геометрию треугольника с его периметром и высотой.

Подставим выражение площади в формулу для радиуса: \(r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}b\,h_b}{p}=\frac{b\,h_b}{2p}\). Сопоставим это с условием \(r=\frac{1}{3}h_b\). Приравнивая, получаем \(\frac{b\,h_b}{2p}=\frac{1}{3}h_b\). Так как \(h_b>0\), можно сократить \(h_b\), и придём к равенству \(\frac{b}{2p}=\frac{1}{3}\). Отсюда следует \(3b=2p\). Теперь подставим определение полупериметра \(p=\frac{a+b+c}{2}\), и получим \(3b=2\cdot\frac{a+b+c}{2}=a+b+c\). Перенося \(b\) в правую часть, имеем \(2b=a+c\).

Равенство \(2b=a+c\) означает, что средняя по величине сторона \(b\) равна полусумме остальных двух сторон: \(b=\frac{a+c}{2}\). Это именно признак арифметической прогрессии для трёх чисел: средний член равен среднему арифметическому двух крайних. Следовательно, длины сторон треугольника \(a,b,c\) образуют арифметическую прогрессию. Таким образом, исходное условие \(r=\frac{1}{3}h_b\) приводит через стандартные формулы для площади и радиуса вписанной окружности к линейной связи сторон \(2b=a+c\), завершающей доказательство.