ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(AOC\), где \(O\) — точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC\), если \(\angle ABC=60^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) радиус описанной окружности \(R=6\) см, а \(\angle ABC=60^\circ\). Пусть \(AO\) — биссектриса, тогда \(\angle ABO=30^\circ\).

Для треугольника \(AOC\) используем формулу \(2R_{AOC}=\frac{AC}{\sin\angle AOC}\). Угол \(\angle AOC\) как центральный, соответствующий дуге \(AC\), равен \(2\angle ABC=120^\circ\), поэтому \(\sin\angle AOC=\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Из треугольника \(ABC\) при \(\angle B=60^\circ\): \(AC=2R\sin60^\circ=2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\).

Тогда \(2R_{AOC}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12\), откуда \(R_{AOC}=6\) см.

1) Дан треугольник \(ABC\) с радиусом описанной окружности \(R=6\) см и углом при вершине \(B\): \(\angle ABC=60^\circ\). Точка \(O\) — центр вписанной окружности \(ABC\) (пересечение биссектрис). Сначала выразим сторону \(AC\) через радиус описанной окружности и угол при \(B\). В любом треугольнике сторона напротив угла \(\beta\) равна \(a=2R\sin\beta\). Применяя к стороне \(AC\), получаем \(AC=2R\sin\angle ABC=2\cdot 6\cdot \sin60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\). Эта длина нам понадобится для формулы радиуса описанной окружности вокруг треугольника \(AOC\).

2) Найдём угол \(\angle AOC\). Точки \(A,B,C\) лежат на одной окружности радиуса \(R=6\), поэтому центральный угол, опирающийся на дугу \(AC\), равен вдвое вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанный угол, опирающийся на дугу \(AC\), это как раз \(\angle ABC=60^\circ\). Следовательно, центральный угол \(\angle AOC=2\cdot \angle ABC=120^\circ\). Тогда \(\sin\angle AOC=\sin120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

3) Применим формулу для радиуса описанной окружности любого треугольника через сторону и противолежащий угол: \(2R_{\!AOC}=\frac{AC}{\sin\angle AOC}\). Подставляя найденные величины, имеем \(2R_{\!AOC}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=12\). Отсюда \(R_{\!AOC}=6\) см. Итог: радиус окружности, описанной около треугольника \(AOC\), равен \(6\) см, то есть совпадает с исходным \(R\).