ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) принадлежит стороне \(BC\) треугольника \(ABC\). Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников \(AMB\) и \(MAC\), не зависит от выбора точки \(M\) на стороне \(BC\).

Рассмотрим треугольники \(AMB\) и \(AMC\). Радиус описанной окружности произвольного треугольника равен \(R=\frac{a}{2\sin \alpha}\), где \(a\) — сторона, противолежащая углу \(\alpha\).

Пусть в \(\triangle AMB\) возьмём сторону \(AB\) и угол при вершине \(A\), тогда \(R_1=\frac{AB}{2\sin \angle MAB}\). Аналогично для \(\triangle AMC\) берём сторону \(AC\) и тот же угол при \(A\): \(R_2=\frac{AC}{2\sin \angle MAC}\).

Так как \(\angle MAB=\angle MAC=\angle A\) (оба угла — угол при вершине \(A\) исходного треугольника), получаем \(R_1=\frac{AB}{2\sin A}\) и \(R_2=\frac{AC}{2\sin A}\).

Следовательно, \(\frac{R_1}{R_2}=\frac{AB}{AC}\), что не зависит от положения точки \(M\) на стороне \(BC\).

1. Пусть точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\). Рассмотрим два треугольника: \(AMB\) и \(AMC\). Для любого треугольника радиус описанной окружности выражается через выбранную сторону и противолежащий ей угол формулой \(R=\frac{a}{2\sin \alpha}\). В треугольнике \(AMB\) удобно взять сторону \(AB\) и угол при вершине \(A\), тогда \(R_1=\frac{AB}{2\sin \angle MAB}\). В треугольнике \(AMC\) берём сторону \(AC\) и угол при вершине \(A\), получаем \(R_2=\frac{AC}{2\sin \angle MAC}\).

2. Ключевое наблюдение: углы \(\angle MAB\) и \(\angle MAC\) совпадают с углом \(\angle A\) исходного треугольника \(ABC\), поскольку точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) и лучи \(AB\) и \(AC\) образуют один и тот же угол при вершине \(A\), а точка \(M\) не влияет на величину угла при \(A\). Следовательно, \(\sin \angle MAB=\sin \angle A\) и \(\sin \angle MAC=\sin \angle A\). Подставляя это в выражения для радиусов, получаем \(R_1=\frac{AB}{2\sin A}\) и \(R_2=\frac{AC}{2\sin A}\). То есть оба радиуса зависят только от соответствующих сторон \(AB\) и \(AC\) и общего угла при \(A\), но не зависят от положения точки \(M\) на стороне \(BC\).

3. Теперь рассмотрим их отношение: \(\frac{R_1}{R_2}=\frac{\frac{AB}{2\sin A}}{\frac{AC}{2\sin A}}=\frac{AB}{AC}\). Здесь множитель \(2\sin A\) сокращается, поэтому итог зависит только от фиксированных длин сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\). Так как \(AB\) и \(AC\) постоянны при любом выборе \(M\) на \(BC\), отношение \(\frac{R_1}{R_2}\) остаётся неизменным. Тем самым доказано, что \(\frac{R_1}{R_2}\) не зависит от выбора точки \(M\) на стороне \(BC\).