ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около треугольника.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) с ортоцентром \(H\). Пусть окружность проходит через точки \(A\), \(B\) и \(H\). Докажем, что она совпадает с описанной окружностью.

Заметим, что \(\angle AHB = 180^\circ — \angle C\), так как \(AH\) и \(BH\) являются высотами и образуют угол, дополнительный к углу при вершине \(C\). Одновременно центральный (или дуговой) угол, опирающийся на дугу \(AB\) в описанной окружности, равен \(180^\circ — \angle C\). Значит, точки \(A\), \(H\), \(B\) лежат на одной окружности с тем же угловым параметром, что и описанная окружность.

Следовательно, окружность, проходящая через \(H\) и две вершины треугольника, совпадает с окружностью, описанной около треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\) с ортоцентром \(H\). Высоты \(AH\), \(BH\), \(CH\) пересекаются в точке \(H\). Ключевой факт: угол между высотами, исходящими из вершин \(A\) и \(B\), связан с углом при вершине \(C\). Так как \(AH \perp BC\) и \(BH \perp AC\), то поворот направления прямой \(BC\) к \(AC\) равен \(\angle C\). Следовательно, угол между перпендикулярами к этим направлениям равен \(180^\circ — \angle C\). Отсюда получаем \(\angle AHB = 180^\circ — \angle C\). Этот результат можно также увидеть через ориентированные углы: \(\angle(AH, BH) = \angle(\perp BC, \perp AC) = 180^\circ — \angle(CB, CA) = 180^\circ — \angle C\).

Теперь сравним \(\angle AHB\) с вписанными углами окружности, описанной около \(ABC\). Вписанный угол, опирающийся на дугу \(AB\), равен половине соответствующего центрального угла и, в любом случае, равен \(90^\circ — \frac{\angle C}{2}\). Соответственно, угол, дополняющий его до \(180^\circ\), есть \(180^\circ — \angle C\), и именно таким является угол между хордой \(AH\) и хордой \(BH\), если точки \(A\), \(H\), \(B\) лежат на одной окружности. Но мы уже установили, что \(\angle AHB = 180^\circ — \angle C\). Следовательно, \(A\), \(B\) и \(H\) концикличны на той же окружности, для которой дуга \(AB\) соответствует углу \(180^\circ — \angle C\).

Аналогично рассуждая для пар \((B, C, H)\) и \((C, A, H)\), получаем \(\angle BHC = 180^\circ — \angle A\) и \(\angle CHA = 180^\circ — \angle B\). Эти равенства точно совпадают с угловыми характеристиками описанной окружности \(ABC\), поскольку каждый раз угол при \(H\) дополняет соответствующий угол треугольника до \(180^\circ\). Таким образом, любая окружность, проходящая через ортоцентр \(H\) и любые две вершины треугольника, имеет те же вписанные углы и ту же дугу, что и описанная окружность, а значит, совпадает с окружностью, описанной около треугольника \(ABC\).