ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.53 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана треугольника, проведённая к его третьей стороне, равна \(\sqrt{46}\) см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Дано: стороны \(6\) и \(8\), третья сторона \(x\). Медиана к стороне \(x\) равна \(\sqrt{46}\). Формула медианы: \(m_x=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-x^2}\). Подставим: \(\sqrt{46}=\frac{1}{2}\sqrt{2(6^2+8^2)-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{200-x^2}\).

Умножим на 2 и возведём в квадрат: \(4\cdot 46=200-x^2\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4\).

Ответ: \(4\) см.

Рассмотрим треугольник со сторонами \(6\), \(8\) и неизвестной стороной \(x\). По условию медиана, проведённая к стороне \(x\), имеет длину \(\sqrt{46}\). Напомним формулу длины медианы к стороне \(x\): если две другие стороны равны \(a\) и \(b\), то длина медианы выражается как \(m_x=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^{2}+b^{2})-x^{2}}\). В нашем случае \(a=6\), \(b=8\), поэтому \(m_x=\frac{1}{2}\sqrt{2(6^{2}+8^{2})-x^{2}}\). Подставляя \(m_x=\sqrt{46}\), получаем уравнение \(\sqrt{46}=\frac{1}{2}\sqrt{2(6^{2}+8^{2})-x^{2}}\).

Выполним пошаговые преобразования. Сначала вычислим квадраты: \(6^{2}=36\), \(8^{2}=64\), их сумма равна \(36+64=100\). Тогда подкоренное выражение становится \(2(100)-x^{2}=200-x^{2}\), а формула принимает вид \(\sqrt{46}=\frac{1}{2}\sqrt{200-x^{2}}\). Умножим обе части на \(2\), чтобы избавиться от множителя \(\frac{1}{2}\): \(2\sqrt{46}=\sqrt{200-x^{2}}\). Возведём обе части в квадрат, чтобы убрать корни: \((2\sqrt{46})^{2}=200-x^{2}\), то есть \(4\cdot 46=200-x^{2}\). Вычисляем левую часть: \(4\cdot 46=184\), получаем равенство \(184=200-x^{2}\). Переносим члены: \(x^{2}=200-184=16\), откуда \(x=\sqrt{16}=4\) (положительное значение, так как длина стороны неотрицательна и удовлетворяет неравенствам треугольника).

Проверим корректность полученного значения и совместимость с геометрическими условиями. Неравенства треугольника выполняются: \(4+6>8\), \(4+8>6\), \(6+8>4\). Подставим найденный \(x=4\) обратно в формулу медианы для проверки: \(m_x=\frac{1}{2}\sqrt{2(6^{2}+8^{2})-4^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2(36+64)-16}=\frac{1}{2}\sqrt{200-16}=\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{184}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{46}=\sqrt{46}\), что полностью совпадает с условием. Следовательно, вычисление корректно, а искомая сторона однозначно равна \(4\).

Ответ: \(4\) см.