ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана треугольника, проведённая к его третьей стороне, равна \(\sqrt{46}\) см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Стороны: \(a=13\) (наибольшая), \(b=8\), \(c=9\). Медиана к стороне \(a\): \(m_a=\frac12\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\).

Подстановка: \(m_a=\frac12\sqrt{2\cdot8^{2}+2\cdot9^{2}-13^{2}}=\frac12\sqrt{2\cdot64+2\cdot81-169}=\)
\(=\frac12\sqrt{128+162-169}=\frac12\sqrt{121}=\frac12\cdot11=5{,}5\ \text{см}\).

Ответ: \(5{,}5\ \text{см}\).

1) Рассматриваем треугольник со сторонами \(a=13\), \(b=8\), \(c=9\). Наибольшая сторона — это \(a=13\), к ней и проводится медиана \(m_a\). Формула медианы, исходящая из теоремы Апполония, имеет вид: \(m_a=\frac12\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\). Эта формула получается из равенства суммы квадратов двух сторон треугольника к сумме удвоенных квадратов половин третьей стороны и квадрата медианы; она позволяет напрямую вычислить длину медианы по трём сторонам без дополнительных построений и углов.

2) Подставляем численные значения: \(m_a=\frac12\sqrt{2\cdot8^{2}+2\cdot9^{2}-13^{2}}\). Сначала вычислим квадраты сторон: \(8^{2}=64\), \(9^{2}=81\), \(13^{2}=169\). Затем умножаем на \(2\) там, где требуется: \(2\cdot64=128\), \(2\cdot81=162\). Складываем и вычитаем по формуле: \(128+162-169=121\). Таким образом, подкоренное выражение упрощается до \(\sqrt{121}\), что равно \(11\). Итак, получаем: \(m_a=\frac12\cdot11\).

3) Выполним финальное вычисление: \(\frac12\cdot11=5{,}5\). Единицы измерения сохраняем из исходных данных, так как все стороны даны в сантиметрах; значит медиана также выражается в сантиметрах. Ответ полностью согласован с промежуточными шагами и проверяется обратным путём: если бы мы вернулись к формуле и подставили \(m_a=5{,}5\), то восстановили бы те же числа под корнем. Следовательно, медиана к наибольшей стороне равна \(5{,}5\ \text{см}\).