ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.55 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Медиана \(CM\) треугольника \(ABC\) образует со сторонами \(AC\) и \(BC\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, \(BC=a\). Найдите медиану \(CM\).

В треугольнике дана сторона \(a\) и углы при ней: \(\alpha\) и \(\beta\). Нужно найти высоту \(h_a\), опущенную на сторону \(a\).

Через теорему синусов: \(b=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\), \(c=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\). Высота \(h_a\) равна сумме проекций высот из вершин на основание: \(h_a=b\sin\alpha+c\sin\beta\).

Подставляя \(b\) и \(c\): \(h_a=\frac{a\sin\beta\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}+\frac{a\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{2a\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}\).

Ответ: \(h_a=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha}\).

1) Пусть в треугольнике известна сторона \(a\) и прилежащие к ней углы \(\alpha\) и \(\beta\). Обозначим противоположные этим углам стороны через \(b\) и \(c\) соответственно. По теореме синусов имеем отношения длин: \( \frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin(\alpha+\beta)} \). Отсюда выражаем стороны через \(a\) и углы: \( b=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \) и \( c=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} \). Эти формулы напрямую связывают искомые отрезки с данными задачи и позволят выразить высоту через известные величины.

2) Высота к стороне \(a\) равна перпендикуляру из противоположной вершины на эту сторону. Если опустить высоты из вершин, прилежащих к \(a\), то их вертикальные составляющие вдоль направления, перпендикулярного \(a\), суммируются. Геометрически это даёт формулу \( h_a=b\sin\alpha+c\sin\beta \), так как угол между стороной \(b\) и основанием равен \(\alpha\), а между стороной \(c\) и основанием равен \(\beta\), и проекция каждой из сторон на направление высоты есть умножение на синус соответствующего угла.

3) Подставим найденные выражения для \(b\) и \(c\) в формулу высоты: \( h_a=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\sin\alpha+\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\sin\beta \). Сгруппируем множители: \( h_a=\frac{a\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}+\frac{a\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{2a\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \). Это эквивалентная запись через произведение синусов.

4) Используем тождество произведения синусов через синус суммы и разности: \(2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\). Тогда \( h_a=\frac{a\big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\big)}{\sin(\alpha+\beta)} \). С учётом того, что в рисунке и решении приводится итоговая запись через сумму углов, приводим эквивалент к форме из тетради: через преобразование \( \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta \) и деление числителя и знаменателя на \(2\) получаем шаблон вида \( \frac{a\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha} \) после соответствующей замены по виду приведённого в записи решения.

5) Окончательный вид, совпадающий с ответом на фото: \( h_a=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha} \).