ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.56 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На медиане \(BD\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что \(BM:MD=3:1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если площадь треугольника \(AMD\) равна 3 см\(^2\).

Пусть \(S_{ABC}\) — площадь всего треугольника. Точка \(D\) — середина \(AC\), значит \(BD\) — медиана и делит \(ABC\) на два треугольника равной площади: \(S_{ABD}=S_{CBD}=\frac{1}{2}S_{ABC}\).

На медиане \(BD\) взяли точку \(M\) так, что \(BM:MD=3:1\). Тогда \(MD=\frac{1}{4}BD\). Для треугольника \(ABD\) высоты к основанию \(AD\) из точек \(B\) и \(M\) относятся как \(BD:MD=4:1\), значит площади \(S_{ABD}:S_{AMD}=4:1\). Отсюда \(S_{ABD}=4\cdot S_{AMD}=4\cdot3=12\).

Следовательно, \(S_{ABC}=2\cdot S_{ABD}=2\cdot12=24\text{ см}^2\).

Обозначим площадь треугольника \(ABC\) через \(S_{ABC}\). По условию \(BD\) — медиана, то есть точка \(D\) является серединой отрезка \(AC\). Свойство медианы в треугольнике гласит: она делит треугольник на два треугольника равной площади, потому что основания \(AD\) и \(DC\) равны, а высота к этим основаниям из вершины \(B\) одна и та же. Следовательно, площади треугольников по разные стороны медианы равны: \(S_{ABD}=S_{CBD}=\frac{1}{2}S_{ABC}\). Это важный первый шаг: вся дальнейшая работа сведётся к нахождению площади \(S_{ABD}\), после чего мы просто удвоим результат.

Далее рассмотрим точку \(M\) на медиане \(BD\) такую, что отношение \(BM:MD=3:1\). Из этого немедленно следует, что весь отрезок \(BD\) разбит точкой \(M\) на две части, причём \(BM=\frac{3}{4}BD\) и \(MD=\frac{1}{4}BD\). Нас интересует треугольник \(AMD\), поскольку его площадь известна: \(S_{AMD}=3\ \text{см}^{2}\). Заметим, что треугольники \(ABD\) и \(AMD\) имеют общее основание \(AD\) и высоты к этому основанию, опущенные из точек \(B\) и \(M\) соответственно, лежат на одной прямой \(BD\). Тогда отношение площадей таких треугольников равно отношению соответствующих высот, то есть равно отношению расстояний от точек \(B\) и \(M\) до прямой \(AD\), а это те же самые отрезки \(BD\) и \(MD\) в одинаковом направлении. Поэтому выполняется соотношение \( \frac{S_{ABD}}{S_{AMD}}=\frac{BD}{MD} \).

Подставим найденные длины в отношении: так как \(MD=\frac{1}{4}BD\), получаем \( \frac{S_{ABD}}{S_{AMD}}=\frac{BD}{\frac{1}{4}BD}=4 \). Следовательно, \(S_{ABD}=4\cdot S_{AMD}=4\cdot 3=12\ \text{см}^{2}\). Возвращаясь к первому шагу о делении медианой, удваиваем эту площадь, чтобы получить площадь всего треугольника: \(S_{ABC}=2\cdot S_{ABD}=2\cdot 12=24\ \text{см}^{2}\). Ответ: \(24\ \text{см}^{2}\).