ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.57 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь треугольника АВС равна 40 см\(^2\). На медиане АМ отметили точку Р такую, что AP : PM = 2 : 3. Найдите площадь треугольника ВРМ.

Так как \(AM\) — медиана, то \(S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=20\).

На отрезке \(AM\) точка \(P\) делит \(AM\) в отношении \(AP:PM=2:3\), то есть \(AP=\frac{2}{5}AM\). Треугольники \(ABP\) и \(ABM\) имеют общую высоту из \(B\) к \(AM\), значит их площади пропорциональны основаниям \(AP\) и \(AM\): \(S_{\triangle ABP}=\frac{AP}{AM}\,S_{\triangle ABM}=\frac{2}{5}\cdot 20=8\).

Тогда \(S_{\triangle BPM}=S_{\triangle ABM}-S_{\triangle ABP}=20-8=12\ \text{см}^2\).

1) Пусть \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\), тогда она делит треугольник на два равновеликих треугольника \(ABM\) и \(CBM\). Следовательно, их площади равны и каждая составляет половину площади исходного треугольника. При заданной площади \(S_{\triangle ABC}=40\ \text{см}^{2}\) получаем \(S_{\triangle ABM}=S_{\triangle CBM}=\frac{1}{2}\cdot 40=20\ \text{см}^{2}\). Это ключевой шаг: знание того, что медиана из вершины делит треугольник на два равных по площади, позволяет работать далее только с треугольником \(ABM\), внутри которого расположена точка \(P\).

2) По условию точка \(P\) берётся на отрезке \(AM\) так, что \(AP:PM=2:3\). Из этого отношения следует, что \(AP=\frac{2}{5}AM\) и \(PM=\frac{3}{5}AM\), поскольку вся длина \(AM\) — это сумма двух частей, соответствующих пяти равным долям. Рассмотрим треугольники \(ABP\) и \(ABM\). Они имеют общую вершину \(B\) и лежат на одной прямой-основании \(AM\), причём высоты из \(B\) к прямой \(AM\) у них совпадают. Когда два треугольника имеют общую высоту, их площади пропорциональны соответствующим основаниям. Значит, \( \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABM}}=\frac{AP}{AM}=\frac{2}{5}\), откуда \(S_{\triangle ABP}=\frac{2}{5}\cdot S_{\triangle ABM}=\frac{2}{5}\cdot 20=8\ \text{см}^{2}\).

3) Нас интересует площадь треугольника \(BPM\). Он является частью треугольника \(ABM\), причём \(ABM\) распадается на два непересекающихся треугольника по отрезку \(BP\): \(ABM=ABP\cup BPM\). Следовательно, \(S_{\triangle BPM}=S_{\triangle ABM}-S_{\triangle ABP}\). Подставляя найденные величины, получаем \(S_{\triangle BPM}=20-8=12\ \text{см}^{2}\). Таким образом, конечный ответ сводится к вычислению разности площадей в пределах одного полутреугольника, что согласуется с использованием медианы и отношением деления отрезка: \(S_{\triangle BPM}=12\ \text{см}^{2}\).