ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.58 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Внутри треугольника АВС выбрана точка М так, что площади треугольников АМВ, ВМС и АМС равны. Докажите, что М — точка пересечения медиан треугольника АВС.

Пусть \(S_{AMB}=S_{BMC}=S_{AMC}\).

Из равенства площадей, лежащих на одной высоте, следует пропорциональность оснований:
— Для треугольников \(AMB\) и \(AMC\) высота из \(A\) общая, значит \(AB=AC\cdot \frac{S_{AMB}}{S_{AMC}}=AC\). Следовательно, точка \(M\) лежит на медиане \(AD\) к стороне \(BC\), то есть \(BD=DC\).
— Аналогично, сравнивая пары \(AMB\) и \(BMC\) (общая высота к \(BM\)), получаем \(AB=BC\) по коэффициенту площадей 1, значит \(M\) лежит на медиане \(BE\) к стороне \(AC\) и \(AE=EC\).
— Сравнивая \(AMC\) и \(BMC\) (общая высота к \(CM\)), получаем \(AC=BC\), следовательно, \(M\) лежит на медиане \(CF\) к стороне \(AB\) и \(AF=FB\).

Так как \(M\) принадлежит двум медианам треугольника \(ABC\), то они пересекаются в одной точке, следовательно, \(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\).

1. Пусть \(S_{AMB}=S_{BMC}=S_{AMC}\). Рассмотрим треугольники \(AMB\) и \(AMC\): у них общая вершина \(A\) и общая высота к прямой \(BM\!C\), так как высота, опущенная из \(A\) на линию, содержащую отрезок \(BC\), одинакова для обеих фигур. Площади треугольников с общей высотой пропорциональны соответствующим основаниям, то есть справедливо \( \frac{S_{AMB}}{S_{AMC}}=\frac{MB}{MC} \). По условию левая дробь равна \(1\), значит \(MB=MC\). Следовательно, точка \(M\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(BC\) относительно лучей \(BM\) и \(CM\), а в самом треугольнике \(ABC\) это эквивалентно тому, что \(M\) делит сторону \(BC\) пополам по направлению медианы из вершины \(A\). То есть прямая \(AM\) является медианой, и если \(K\) — середина \(BC\), то \(M\) лежит на прямой \(AK\) и выполняется \(BK=KC\).

2. Аналогично рассмотрим треугольники \(AMB\) и \(BMC\). Теперь общая вершина \(B\), а общая высота опущена из \(B\) к прямой \(AM\!C\). Используем ту же пропорцию площадей: \( \frac{S_{AMB}}{S_{BMC}}=\frac{AM}{MC} \). Поскольку \(S_{AMB}=S_{BMC}\), получаем \(AM=MC\). Это означает, что точка \(M\) находится на медиане из вершины \(B\) к стороне \(AC\): если \(N\) — середина \(AC\), то \(M\) лежит на прямой \(BN\) и \(AN=NC\). В терминах медианы это значит, что прямая \(BM\) проходит через середину стороны \(AC\), так как равенство площадей гарантирует равенство соответствующих оснований при общей высоте из вершины \(B\).

3. Точно так же сравним треугольники \(AMC\) и \(BMC\). У них общая вершина \(C\) и общая высота из \(C\) к прямой \(AM\!B\). Из равенства площадей имеем \( \frac{S_{AMC}}{S_{BMC}}=\frac{AM}{MB}=1 \), следовательно, \(AM=MB\). Значит, точка \(M\) лежит на медиане из вершины \(C\) к стороне \(AB\): если \(P\) — середина \(AB\), то \(M\) лежит на прямой \(CP\) и \(AP=PB\). Итак, мы получили, что \(AM\), \(BM\) и \(CM\) являются медианами треугольника \(ABC\).

4. Так как любые две медианы невырожденного треугольника пересекаются в единственной точке и эта точка одинакова для всех трёх медиан, то из того, что \(M\) одновременно лежит на \(AM\) как медиане к \(BC\) и на \(BM\) как медиане к \(AC\) (а также на \(CM\) как медиане к \(AB\)), следует, что \(M\) есть их общая точка пересечения. Следовательно, \(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\).